Вправи: 221 (1)

221. Установіть відповідність між прямими (1–4) та довжинами хорд (А–Д), які ці прямі відтинають на колі x² + y² – 6x + 2y – 15 = 0.

Розв’язання

1) у = х - 3, АВ - хорда

у = х - 3

х² + у² - 6х + 2у - 15 = 0

x² + (x - 3)² - 6x = 2(x - 3) - 15 = 0

x² + x² - 6x + 9 - 6x + 2x - 6 - 15 = 0

2x² - 10x - 12 = 0|: 2

x² - 5x - 6 = 0

x₁ = -1

x₂ = 6

x = -1 x = 6

y = -4 y = 3

Отже, А(-1; -4), В(6; 3).

АВ = (6 + 1)2+ (3 + 4)2 = 72+ 72 = 49 + 49 = 72.

2) у = 3, АВ - хорда

у = 3

х² + у² - 6х + 2у - 15 = 0

x² + 3² - 6x = 2 • 3 - 15 = 0

x² - 6x = 0

x(x - 6) = 0

x₁ = 0

x₂ = 6

x = 0 x = 6

y = 3 y = 3

Отже, А(0; 3), В(6; 3).

АВ = (6 - 0)2+ (3 - 3)2 = 36 = 6.

3) у = -2х, АВ - хорда

у = -2х

х² + у² - 6х + 2у - 15 = 0

x² + (-2x)² - 6x + 2 • (-2x) - 15 = 0

x² + 4x² - 6x - 4x - 15 = 0

5x² - 10x - 15 = 0|: 5

x² - 2x - 3 = 0

x₁ = -1

x₂ = 3

x = -1 x = 3

y = 2 y = 6

Отже, А(-1; 2), В(3; -6).

АВ = (3 + 1)2+ (-6 -2)2 = 42+ (-8)2 = 16 + 64 = 80 =

= 45.

4) x = 6, АВ - хорда

x = 6

х² + у² - 6х + 2у - 15 = 0

6² + y² - 6 • 6 + 2y - 15 = 0

36 + y² - 36 + 2y - 15 = 0

y² + 2y - 15 = 0

y₁ = -5

y₂ = 3

x = 6 x = 6

y = -5 y = 3

Отже, А(6; -5), В(6; 3).

АВ = (6 - 6)2+ (3 + 5)2 = 82 = 64 = 8.

Відповідь: 1 - В, 2 - Г, 3 - А, 4 - Б.