Вправи: 216 (1)

216. Складіть рівняння прямих, яким належать медіани і висоти ∆MNK, якщо M(–4; 2), N(2; 6), K(8; –4).

Дано: ∆MNK; M(-4; 2);

N(2; 6), K(8; -4).

NB, MA, KC - медіани;

ND, MF, KE - висоти

Знайти: рівняння прямих

NB, MA, KC, ND, MF, KE.

Розв’язання

1) Медіана NB.

В - середина МК: В(-4 + 82; 2 - 42) = В(2; -1)

Рівняння прямої NB: x = R.

2) медіана МА.

А - середина NK: A(2 + 82; 6 - 42) = A(5; 1).

Точки М і А лежать на пр. y = kx + b

k • (-4) + b = 2

k • 5 + b = 1

-4k + b = 2| • (-1) 4k - b = -2

5k + b = 1 5k + b = 1

9k = -1

k = -19.

b = 1 - 5 • (-19) = 1 + 59 = 159.

Рівняння прямої МА: y = -19x + 159.

3) Медіана КС.

С - середина MN: C(-4 + 22; 2 + 62) = C(-1; 4).

Точки К і С лежать на прямій y = kx + b.

k • 8 + b = -4

k • (-1) + b = 4

8k + b = -4| • (-1) -8k - b = 4

-k + b = 4 -k + b = 4

-9k = 8

k = -89.

b = 4 - 89 = 319.

Рівняння прямої КС: y = -89x + 319.

4) Висота MF.

MF ⊥ NK.

Пряма NK : y = kx + b

k • 2 + b = 6

k • 8 + b = -4

2k + b = 6| • (-1) -2k - b = -6

8k + b = -4 8k + b = -4

6k = -10

k = -53

b = 6 - 2 • (-53) = 6 + 103 = 283

Пряма NK : y = -53x + 283

Пряма MF: y = k₁x + b₁.

k • k₁ = -1; k₁ = -1k = 35; y = 35x + b₁

M(-4; 2): 35 • (-4) + b₁ = 2

-125 + b₁ = 2

b₁ = 2 + 125

b₁ = 225.

Рівняння прямої MF: y = 35x + 225.

5) Висота ND.

ND ⊥ MK.

Пряма MK : y = kx + b

k • (-4) + b = 2.

k • 8 + b = -4

-4k + b - 2| • (-1) 4k - b = -2

8k + b = -4 8k + b = -4

12k = -6

k = -12

b = 2 + 4 • (-12) = 2 - 2 = 0

Пряма MK: y = -12x.

Пряма ND: y = k₁x + b₁.

k₁ • k = -1; k₁ = -1k = 2; y = 2x + b₁

N(2; 6): 2 • 2 + b₁ = 6

4 + b₁ = 6

b₁ = 2

Рівняння прямої ND: y = 2x + 2.

6) Висота КЕ.

KE ⊥ MN.

Пряма MN: y = kx + b

k • (-4) + b = 2

k • 2 + b = 6

-4k + b = 2| • (-1) 4k - b = -2

2k + b = 6 2k + b = 6

6k = 4

k = 23

b = 6 - 2 • 23 = 6 - 43 = 143.

Пряма MN: y = 23x + 143.

Пряма КЕ: y = k₁x + b₁

k • k₁ = -1; k₁ = -1k = -32; y = -32x + b₁

K(8; -4): -32 • 8 + b₁ = -4

-12 + b₁ = -4

b₁ = 8

Рівняння прямої КЕ: y = -32x + 8.

Відповідь: x = 2; y = -19x + 159; y = -89x + 319; y = 35x + 225; y = 2x + 2; y = -32x + 8.