Вправи: 178 (1)

178. Запишіть рівняння кола, описаного навколо трикутника ABC, якщо:

Дано: ∆АВС - вписаний в коло;

Знайти: рівняння кола.

Розв’язання

1) А(3; 0), В(0; 0), С(0; -4).

АВ = 32+ 02 = 3; ВС = 02 + (-4)2 = 16 = 4;

АС = (0 - 3)2+ (-4 - 0)2 = (-3)2+ (-4)2 = 9 + 16 = 5.

3² + 4² = 5², тому ∆АВС - прямокутний з гіпотенузою АС.

R = 12AC = 12 • 5 = 2,5; R² = 2,5² = 6,25.

K - середина АС; К(3 + 02; 0 - 42) = К(1,5; -2).

Отже, К(1,5; -2) - центр кола

Рівняння кола: (х - 1,5)² + (у + 2)² = 6,25.

2) A(-2; -2), B(-2; 1), C(-6; -2).

AB = (-2 + 2)2 + (1 + 2)2 = 02+ 32 = 9 = 3;

BC = (-6 + 2)2 + (-2 - 1)2 = (-4)2 + (-3)2 = 16 + 9 =

= 5;

AC = (-6 + 2)2 + (-2 + 2)2 = (-4)2 + 02 = 16 = 4.

3² + 4² = 5², тому ∆АВС - прямокутний з гіпотенузою ВС.

R = 12BC = 12 • 5 = 2,5; R² = 2,5² = 6,25

K - середина ВС: К(-2 - 62; 1 - 22) = К(-4; -0,5)

Отже, К(-4; -0,5) - центр кола.

Рівняння кола: (х + 4)² + (у + 0,5)² = 6,25.

3) A(-3; -1), B(0; 3), C(3; -1).

AB = (0 + 3)2+(3 + 1)2 = 32+42 = 9 + 16 = 5;

BC = (3 - 0)2+(-1 - 3)2 = 32+(-4)2 = 9 + 16 = 5;

AC = (3 + 3)2+(-1 + 1)2 = 62+02 = 36 = 6.

AB = BC, тому ∆АВС - рівнобедрений.

Проведемо медіану ВМ.

Центр кола О ∈ ВМ, тоді О(0; у).

AO = BO = R

AO = (0 + 3)2+(y0+ 1)2

BO = (0 - 0)2+(y - 3)2

32+(y + 1)2 = (y - 3)2

9 + y² + 2y + 1 = y - 6y + 9

2y + 6y = 9 - 10

8y = -1

y = -18

Отже, О - центр кола; О(0; -18).

AO = (0 + 3)2+(-18 + 1)2 = 32+(18)2 = 9 + 4964 = 62564 =

= 258.

Отже, R = 258; R² = (258)² = 62564.

Рівняння кола: x² + (y + 18)² = 62564.