Вправи: 177 (1)

177. Як розміщені кола (дотикаються, перетинаються, не мають спільних точок), задані рівняннями:

a) (x - 3)² + (y + 2)² = 4 і x² + y² - 2x - 2y = 14.

Розв’язання

1) Перше рівняння - це рівняння кола з центром О₁(3; -2) радіуса

R₁ = 2.

2) x² + y² - 2x - 2y - 14 = x² - 2x + 1 + y² - 2y + 1 - 1 - 1 - 14 = (x -

- 1)² + (y - 1)² - 16.

(x - 1)² + (y - 1)² = 16 - це рівняння кола з центром О₂(1; 1) радіуса R₂ = 4.

O₁O₂ = (1 - 3)2 + (1 + 2)2 = (-2)2 + 32 = 4 + 9 = 13

R₁ + R₂ = 2 + 4 = 6; O₁O₂ < R₁ + R₂.

Отже, кола перетинаються.

б) x² + y² + 6x = 0 i x² + y² - 8y = -12.

Розв’язання

1) x² + y² + 6x = x² + 6x + 9 + y² - 9 = (x + 3)² + y² - 9.

(x + 3)² + y² = 9 - це рівняння кола з центром О₁(-3; 0) радіуса R₁ =

= 3.

2) x² + y² - 8y + 12 = x² - 8y + 16 + y² - 16 + 12 = (x - 4)² + y² - 4.

(x - 4)² + y² = 4 - з центром О₂ (4; 0) радіуса R₂ = 2

O₁O₂ = (4 + 3)2+ (0 - 0)2 = 72 = 7.

R₁ + R₂ = 3 + 2 = 5; O₁O₂ > R₁ + R₂.

Отже, кола не мають спільних точок.

в) x² + y² + 8x - 6y = 0 i (x - 2)² + (y + 1)² = 1

Розв’язання

1) x² + y² + 8x - 6y = x² + 8x + 16 + y² - 6y + 9 - 16 - 9 = (x + 4)² +

+ (y - 3)² - 25.

(x + 4)² + (y - 3)² = 25 - це рівняння кола з центром О₁(-4; 3) радіуса R₁ = 5.

2) (x - 2)² + (y + 1)² = 1 - це рівняння кола з центром О₂(2; -1) радіуса R₂ = 1.

O₁O₂ = (2 + 4)2 + (-1 - 3)2 = 62 + (-4)2 = 36 + 16 =

= 52.

R₁ + R₂ = 5 + 1 = 6; O₁O₂ > R₁ + R₂.

Отже, кола не мають спільних точок.

г) x² + y² - 4x - 8y = -12 i x² + y² - 10x - 2y = -24.

Розв’язання

1) x² + y² - 4x - 8y + 12 = x² - 4x + 4 + y² - 8y + 16 - 4 - 16 + 12 =

= (x - 2)² + (y - 4)² - 4.

(x - 2)² + (y - 4)² = 4 - це рівняння кола з центром О₁(2; 4) радіуса R₁ = 2.

2) x² + y² - 10x - 2y + 24 = x² - 10x + 25 + y² - 2y + 1 - 25 - 1 +

+ 24 = (x - 5)² + (y - 1)² - 2.

(x - 5)² + (y - 1)² = 2 - це рівняння кола з центром О₂(5; 1) радіуса R₂ = 2.

O₁O₂ = (5 - 2)2 + (1 - 4)2 = 32 + (-3)2 = 9 + 9 = 18 =

= 32.

R₁ + R₂ = 2 + 2; O₁O₂ > R₁ + R₂.

Отже, кола не мають спільних точок.