Вправи: 770

770. Найпростіше мансардне покриття утворює у вертикальному перерізі половину правильного восьмикутника (мал. 220). Знайдіть ширину перекриття BD, сторону восьмикутника та висоту мансардної

кімнати ABCDE, якщо AE = 6 м.

Нехай О – центр півкола, описаного навколо половини правильного восьмикутника. АО = EO. Якщо АЕ = 6 м, то радіус кола R = АЕ2;

R = 62 = 3 (м). Центральні кути ∠АОВ = ∠EOD = 360°8 = 45°. Тоді

∠BOD = 180° – 2 • 45° = 90°. Із ∆BOD (∠BOD = 90°) BD² = BO² +

+ DO², BD² = 2 • 3², BD² = 18, BD = 32 м ≈ 4,2 м.

Висота кімнати h – це висота ∆BOD, проведена до гіпотенузи. Оскільки ∆BOD рівнобедрений, то ця висота є медіаною, а отже, дорівнює половині гіпотенузи, h = BD2, h ≈ 4,22 = 2,1 (м).

Iз ∆АОВ маємо:

AB² = AO² + BO² – 2AO • BO • cos ∠AOB; AB² = 2BO² – 2BO² • cos 45°, AB² = 2 • 9 – 2 • 9 • 22 = 18 – 92 ≈ 5,272, AB ≈ 2,3 м.

Відповідь: ширина 4,2 см, висота 2,1 см, сторона 2,3 м.