Вправи: 39

39. Доведіть, що чотирикутник АВСD з вершинами в точках

А (5; –1), В (–7; –6), С (–12; 6) і D (0; 11) є:

1) паралелограмом; 2) ромбом; 3) квадратом.

У трикутника ABCD протилежні сторони АВ і CD, BC i AD. Якщо

А(5; –1); В(–7; –6), С(–12; 6), D(0; 11), то

АВ = (5+7)2+(-1+6)2 = 144+25 = 169 = 13;

CD = (-12-0)2+(6-11)2 = 144+25 = 13;

BC = (-7+12)2+(-6-6)2 = 25+144 = 13;

AD = (5-0)2+(-1-11)2 = 25+144 = 13.

1) Оскільки протилежні сторони АВ = CD, BC = AD, то ABCD – паралелограм;

2) оскільки у паралелограма ABCD всі сторони рівні АВ = BС = CD =

= AD, то ABCD – ромб; 3) знайдемо діагоналі ромба ABCD:

AC = (5+12)2+(-1-6)2 = 172+72 =289+49 = 338;

BD = (-7-0)2+(-6-11)2 = 49+289 = 338.

Оскільки у ромба діагоналі рівні, то він є квадратом. ABCD – квадрат. Що й треба було довести.