Вправи: 208 (1)

208. У коло х² + y² = 16 вписано рівносторонній трикутник. Знайдіть

координати його вершин, якщо одна з них лежить у точці:

1) (0; 4); 2) (–4; 0).

1) Дано: х² + у² = 16 – коло, описане навколо правильного ∆–ка;

(0; 4) – координата вершини.

Знайти: координати вершин ∆–ка.

Розв’язання

З рівняння кола: R = 4.

Сторона правильного ∆–ка, вписаного в коло: a = R3 = 43.

Вершини ∆–ка задовольняють рівнянням:

R² = (x – 0)² + (y – 0)² = x² + y²

a² = (x – 0)² + (y + 4)² = x² + (y – 4)²

Маємо систему рівнянь:

x² + y² = 4²

x² + y² – 8y + 16 = (43)²

x² + y² = 16

16 – 8y + 16 = 48

–8y = 16; y = –2

x² = 16 – (–2)² = 12

x = –12 = –23

x = 12 = 23

y = –2 y = –2

x = –23 x = 23

Відповідь: (–23; –2), (23; –2).

2) Дано: х² + у² = 16 – коло, описане навколо правильного ∆–ка;

(–4; 0) – координата вершини.

Знайти: координати вершин ∆–ка.

Розв’язання

З рівняння кола: R = 4.

Сторона правильного ∆–ка, вписаного в коло: а = R3 = 43.

Вершини ∆–ка задовольняють рівнянням:

R² = (x – 0)² + (y – 0)² = x² + y²

a² = (x + 4)² + (y – 0)² = (x + 4)² + y².

Маємо систему рівнянь:

x² + y² = 4²

x² + 8x + 16 + y² = (43)²

x² + y² = 16

16 + 8x + 16 = 48

8x = 16; x = 2

y² = 16 – 2² = 12

y = –12 = –23

y = 12 = 23

x = 2 x = 2

y = –23 y = 23

Відповідь: (2; –23), (2; 23).