Відповіді до підручника: Стр.41

§ 6. Дізнаємося про імпульс тіла та закон збереження імпульсу

1

Знайдемо швидкість як похідну координати за часом:

x = 5 – 8t + 4t² ⇒ v(t) = dx/dt = –8 + 8t.

1. При t = 2 с:

v₂ = –8 + 8·2 = –8 + 16 = 8 м/с.
Імпульс: p₂ = m·v₂ = 2 кг · 8 м/с = 16 кг·м/с (у додатному напрямі осі x).

1. При t = 4 с:

v₄ = –8 + 8·4 = –8 + 32 = 24 м/с.
Імпульс: p₄ = m·v₄ = 2 кг · 24 м/с = 48 кг·м/с (у додатному напрямі осі x).

Відповідь: p(2 с) = 16 кг·м/с; p(4 с) = 48 кг·м/с.

2

Позначимо m₁ = 2 кг, m₂ = 6 кг. Оберемо додатний напрям уздовж руху тіла масою 2 кг.

До зіткнення:

v₁ = +2 м/с; v₂ = –2 м/с.
Імпульс системи до удару:

p₀ = m₁v₁ + m₂v₂ = 2·2 + 6·(–2) = 4 – 12 = –8 кг·м/с.
Після непружного зіткнення тіла рухаються разом зі швидкістю v:

(m₁ + m₂)v = p₀ ⇒ 8v = –8 ⇒ v = –1 м/с.

Модуль швидкості 1 м/с, знак «–» означає рух у бік тіла масою 6 кг.

Відповідь: 1 м/с у напрямі початкового руху тіла масою 6 кг.

3

Початкова маса вагонетки m₁ = 800 кг, початкова швидкість v₁ = 0,2 м/с.
Маса щебеню m₂ = 200 кг, перед насипанням він нерухомий (горизонтальна швидкість 0).

Імпульс до процесу насипання (по горизонталі):

p₀ = m₁v₁ = 800 · 0,2 = 160 кг·м/с.
Після насипання загальна маса:

m = m₁ + m₂ = 800 + 200 = 1000 кг.
За законом збереження імпульсу (по горизонталі):

p₀ = mv ⇒ v = p₀ / m = 160 / 1000 = 0,16 м/с.

Зменшення швидкості:

Δv = v₁ – v = 0,2 – 0,16 = 0,04 м/с.

Відповідь: швидкість вагонетки зменшилася на 0,04 м/с.

4

Нехай m₁ = 20 т, v₁ = 0,3 м/с; m₂ = 30 т, v₂ = 0,2 м/с. Обидва вагони рухаються в один бік.

Імпульс до зіткнення:

p₀ = m₁v₁ + m₂v₂ = 20·0,3 + 30·0,2 = 6 + 6 = 12 т·м/с.
Після непружного зіткнення вагони рухаються разом зі швидкістю v:

(m₁ + m₂)v = p₀ ⇒ 50v = 12 ⇒ v = 12 / 50 = 0,24 м/с.

Відповідь: 0,24 м/с у напрямі початкового руху вагонів.

5

До запуску ракета з повітрям нерухома, тому початковий імпульс системи дорівнює нулю.

Переведемо маси в кілограми:

m_ракетизпов = 0,250 кг; m_повітря = 0,050 кг; m_ракети_після = 0,200 кг.
Оберемо додатний напрям у бік руху ракети. Тоді повітря вилітає в протилежний бік:

v_повітря = –2 м/с, v_ракети = v.

За законом збереження імпульсу:

m_повітря v_повітря + m_ракети_після v = 0,
0,050·(–2) + 0,200·v = 0 ⇒ –0,10 + 0,20v = 0 ⇒ v = 0,10 / 0,20 = 0,5 м/с.

Відповідь: ракета рухатиметься зі швидкістю 0,5 м/с у напрямі, протилежному вильоту повітря.

6

Нехай маса кулі m, маса рушниці M = 400m. До пострілу система нерухома, тому сумарний імпульс дорівнює нулю.

Після пострілу: куля має швидкість v_к = 800 м/с, рушниця — v_р.
Оберемо додатний напрям у бік руху кулі (тоді віддача рушниці — у протилежний бік).

За законом збереження імпульсу:

m·v_к + M·v_р = 0,
m·800 + 400m·v_р = 0 ⇒ 800 + 400v_р = 0 ⇒ v_р = –800 / 400 = –2 м/с.

Модуль швидкості рушниці 2 м/с, знак «–» показує, що вона рухається в протилежний до кулі бік.

Відповідь: швидкість віддачі рушниці 2 м/с у напрямі, протилежному руху кулі.

7

Переведемо швидкість вантажівки в м/с:

v₁₀ = 36 км/год = 36·1000 / 3600 = 10 м/с.
m₁ = 4000 кг (вантажівка), m₂ = 1000 кг (авто), початкова швидкість авто v₂₀ = 0, тривалість удару t = 0,2 с.

1. Знайдемо спільну швидкість після непружного зіткнення (рухаються разом):

p₀ = m₁v₁₀ = 4000·10 = 40000 кг·м/с.
Закон збереження імпульсу:

(m₁ + m₂)v = p₀ ⇒ 5000v = 40000 ⇒ v = 8 м/с.

Середні прискорення за час удару:

для вантажівки: a₁ = (v – v₁₀) / t = (8 – 10) / 0,2 = –2 / 0,2 = –10 м/с² (спрямоване проти руху);
для автомобіля: a₂ = (v – v₂₀) / t = (8 – 0) / 0,2 = 8 / 0,2 = 40 м/с² (у напрямі руху вантажівки).

1. Кінетична енергія вантажівки до удару:

Eₖ₁ = ½ m₁v₁₀² = 0,5·4000·10² = 0,5·4000·100 = 200000 Дж.
Кінетична енергія системи після удару:

Eₖ_після = ½ (m₁ + m₂) v² = 0,5·5000·8² = 0,5·5000·64 = 160000 Дж.

Втрати енергії (на деформацію тощо):

ΔE = Eₖ₁ – Eₖ_після = 200000 – 160000 = 40000 Дж.
Частка від початкової енергії вантажівки:

ΔE / Eₖ₁ = 40000 / 200000 = 0,2 = 20 %.

Відповідь: a₁ ≈ –10 м/с² (вантажівка сповільнюється), a₂ ≈ 40 м/с² (авто прискорюється вперед); приблизно 20 % початкової кінетичної енергії вантажівки витрачається на деформацію автомобіля.

8

Дослідження 1

Приклад результатів досліду (умовні дані):

Нехай вимірювана відстань для визначення швидкості s = 1,0 м.

Дослід	Маса m, кг	Час проходження, с	Швидкість v, м/с	Імпульс p = m·v, кг·м/с
1	0,50	1,0	1,0	0,50
2	0,70	1,0	1,0	0,70
3	0,50	0,5	2,0	1,00

Аналіз:

1. Порівняння дослідів 1 і 2 (v однакова): при збільшенні маси з 0,50 до 0,70 кг імпульс зростає від 0,50 до 0,70 кг·м/с, тобто імпульс прямо пропорційний масі.
2. Порівняння дослідів 1 і 3 (m однакова): при збільшенні швидкості від 1,0 до 2,0 м/с імпульс зростає від 0,50 до 1,00 кг·м/с, тобто імпульс прямо пропорційний швидкості.

Висновки: імпульс тіла зростає зі збільшенням маси і зі збільшенням швидкості, причому p ∼ m та p ∼ v.