Відповіді на вправи: 704

704. Послідовність (cn) — геометрична прогресія. Знайдіть c₁ і q.

1) c₃ = 20, S₃ = 35.

c₃ = c₁q²; c₁ = $\frac{20}{q^2}$; S₃ = $\frac{c_1(q^3-1)}{q-1}$.

$\frac{c_1(q-1)(q^2+q+1)}{q-1}$ = 35; $\frac{20(q^2+q+1)}{q^2}$ = 35;

20q² + 20q + 20 = 35q²;

15q² – 20q – 20 = 0;

3q² – 4q – 4 = 0;

D = 16 + 48 = 64;

q₁ = $\frac{4+8}{6}$ = 2; q₂ = –$\frac{2}{3}$;

c₁ = 5, c₁ = –30.

Відповідь: 5 і 2.

2) с₈ = –4, S₈ = 310.

с_n = с₁q^n–1; c₈ = c₁q⁷ ⇒ c₁ = $\frac{c_8}{q^7}$.

S_n = $\frac{c_1(1-q^n)}{1-q}$ ⇒ S₈ = $\frac{\frac{c_8}{q^7}(1-q^8)}{1-q}$;

$\frac{c_8(1-q^8)}{q^7(1-q)}$ = 340; $\frac{-4+4q^8}{q^7-q^8}$ = 340;

–4 + 4q⁸ – 340q⁷ + 340q⁸ = 0;

344q⁸ – 340q⁷ – 4 = 0;

86q⁸ – 85q⁷ – 1 = 0;

q = 1 (зайвий корінь); q = –0,5, тоді c₁ = $\frac{-4}{{-\mathrm{0,5}}^7}$ = 512.

Відповідь: 512; –0,5.