Вправи для повторення розділу 2: 63 (1)

63. Розв’яжіть систему рівнянь:

1) x + y + $\frac{x}{y}$ = 11,

$\frac{x}{y}$(x + y) = 24. Позначимо x + y = a, $\frac{x}{y}$ = b.

a + b = 11, a = 11 – b, a = 11 – b,

ab = 24; (11 – b)b – 24 = 0; 11b – b² – 24 = 0;

a = 11 – b, a = 11 – b, b = 3, або b = 8,

b² – 11b + 24 = 0; b = 3 або b = 8; a = 8 a = 3.

x + y = 8, x = 8 – y, x = 8 – y, y = 2,

$\frac{x}{y}$ = 3; $\frac{8-y}{y}$ = 3; 8 – y = 3y; x = 6.

x + y = 3, x = 3 – y, x = 3 – y, x = 3 – y, y = $\frac{1}{3}$,

$\frac{x}{y}$ = 8; $\frac{3-y}{y}$ = 8; 3 – y = 8y; 9y = 3; x = 2$\frac{2}{3}$.

Відповідь: (6; 2), (2$\frac{2}{3}$; $\frac{1}{3}$).

2) $\frac{x+3y}{x-y}$ – $\frac{x-y}{x+3y}$ = $\frac{24}{5}$, Нехай $\frac{х+3у}{х-у}$ = а, тоді $\frac{х-у}{х+3у}$ = $\frac{1}{а}$.

5х + 8у = 18.

а – $\frac{1}{а}$ = $\frac{24}{5}$; 5а2 – 5 – 24а = 0; 5а2 – 24а – 5 = 0.

D = 575 + 100 = 262. a = $\frac{24+26}{10}$ = 5 або а = $\frac{24-26}{10}$ = –0,2.

Якщо а = 5, то $\frac{х+3у}{х-у}$ = 5; х + 3у = 5х – 5у; 4х – 8у = 0.

Тоді x – 2y = 0, x = 2y, x = 2y, y = 1,

5x + 8y = 18; 5 • 2y + 8y = 18; 18y = 18; x = 2.

Якщо а = –0,2, то $\frac{x+3y}{x-y}$ = –0,2; x + 3y = –0,2x + 0,2y; 1,2x + 2,8y = 0; 3x + 7y = 0. Тоді 5x + 8y = 18, • 3, 15x + 24y = 54,+

3x + 7y = 0; • (–5), –15x – 35y = 0;

–11y = 54; y = –$\frac{54}{11}$. 3x + 7 • (–$\frac{54}{11}$) = 0; 3x = $\frac{378}{11}$; x = $\frac{126}{11}$.

Відповідь: (2; 1), ($\frac{126}{11}$; –$\frac{54}{11}$).