Вправи для повторення розділу 1: 27

27. Доведіть нерівність.

1) Застосуємо теорему Коші до кожного множника в лівій частині нерівності:

x+2y2 ≥ 2xy; 12x+1y2 ≥ 12x•1y або x + 2y ≥ 22xy; 12x + 1y ≥ 212xy.

Перемножимо почленно ці нерівності:

(x + 2y)(12x + 12y) ≥ 22xy • 212xy; (x + 2y)(12x + 12y) ≥ 42xy•12xy; (x + 2y)( 12x + 12y) ≥ 4;

що й треба було довести.

2) (1m2 + pn)( 4p2 + mn)( 9n2 + pm) ≥ 48,

Застосуємо теорему Коші до кожного множника в лівої частини нерівності:

1m2+ pn2 ≥ pnm2; 4p2+ mn2 ≥ 4mnp2; 9n2+ pm2 ≥ 9pmn2 або

1m2 + pn ≥ 2pnm2; 4p2 + mn ≥ 24mnp2; 9n2 + pm ≥ 29pmn2.

Перемножимо почленно ці нерівності:

(1m2 + pn)( 4p2 + mn)( 9n2 + pm) ≥ 8pnm2 • 4mnp2 • 9pmn2;

(1m2 + pn)( 4p2 + mn)( 9n2 + pm) ≥ 8 • 2 • 3 = 48, що й треба було довести.