Вправи для повторення розділу 1: 27

27. Доведіть нерівність.

1) Застосуємо теорему Коші до кожного множника в лівій частині нерівності:

$\frac{x+2y}{2}$ $\ge$ $\sqrt{2\mathrm{xy}}$; $\frac{\frac{1}{2x}+\frac{1}{y}}{2}$ $\ge$ $\sqrt{\frac{1}{2x}•\frac{1}{y}}$ або x + 2y $\ge$ 2$\sqrt{2\mathrm{xy}}$; $\frac{1}{2x}$ + $\frac{1}{y}$ $\ge$ 2$\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{xy}}}$.

Перемножимо почленно ці нерівності:

(x + 2y)($\frac{1}{2x}$ + $\frac{1}{2y}$) $\ge$ 2$\sqrt{2\mathrm{xy}}$ • 2$\sqrt{\frac{1}{2\mathrm{xy}}}$; (x + 2y)($\frac{1}{2x}$ + $\frac{1}{2y}$) $\ge$ 4$\sqrt{2\mathrm{xy}•\frac{1}{2\mathrm{xy}}}$; (x + 2y)( $\frac{1}{2x}$ + $\frac{1}{2y}$) $\ge$ 4;

що й треба було довести.

2) ($\frac{1}{m^2}$ + pn)( $\frac{4}{p^2}$ + mn)( $\frac{9}{n^2}$ + pm) $\ge$ 48,

Застосуємо теорему Коші до кожного множника в лівої частини нерівності:

$\frac{\frac{1}{m^2}+\mathrm{pn}}{2}$ $\ge$ $\sqrt{\frac{\mathrm{pn}}{m^2}}$; $\frac{\frac{4}{p^2}+\mathrm{mn}}{2}$ $\ge$ $\sqrt{\frac{4\mathrm{mn}}{p^2}}$; $\frac{\frac{9}{n^2}+\mathrm{pm}}{2}$ $\ge$ $\sqrt{\frac{9\mathrm{pm}}{n^2}}$ або

$\frac{1}{m^2}$ + pn $\ge$ 2$\sqrt{\frac{\mathrm{pn}}{m^2}}$; $\frac{4}{p^2}$ + mn $\ge$ 2$\sqrt{\frac{4\mathrm{mn}}{p^2}}$; $\frac{9}{n^2}$ + pm $\ge$ 2$\sqrt{\frac{9\mathrm{pm}}{n^2}}$.

Перемножимо почленно ці нерівності:

($\frac{1}{m^2}$ + pn)( $\frac{4}{p^2}$ + mn)( $\frac{9}{n^2}$ + pm) $\ge$ 8$\sqrt{\frac{\mathrm{pn}}{m^2}}$ • $\sqrt{\frac{4\mathrm{mn}}{p^2}}$ • $\sqrt{\frac{9\mathrm{pm}}{n^2}}$;

($\frac{1}{m^2}$ + pn)( $\frac{4}{p^2}$ + mn)( $\frac{9}{n^2}$ + pm) $\ge$ 8 • 2 • 3 = 48, що й треба було довести.