Завдання для перевірки знань: §1-7 (10)

10. Доведіть нерівність.

Застосуємо нерівність Коші до кожного множника у лівій частині нерівності:

$\frac{a+1}{2}\ge$ $\sqrt{a}$; $\frac{b+4}{2}\ge$ $\sqrt{4b}$; $\frac{a+b}{2}\ge$ $\sqrt{\mathrm{ab}}$;

а + 1 $\ge$ 2$\sqrt{a}$; b + 4 $\ge$ 2$\sqrt{4b}$; а + b $\ge$ 2$\sqrt{\mathrm{ab}}$.

Перемножимо отримані нерівності:

а + 1 $\ge$ 2$\sqrt{a}$;

х b + 4 $\ge$ 2$\sqrt{4b}$;

a + b $\ge$ 2$\sqrt{\mathrm{ab}}$;

(а +1)(b + 4)(а + b) $\ge$ $\sqrt{{4a}^2{b}^2}$.

Оскільки a $\ge$ 0, b $\ge$ 0, маємо: (а + 1)(b + 4)(а + b) $\ge$ 16аb, що й треба було довести.