Відповіді до завдань § 22 - § 26: 24.34

24.34. Розв’яжіть систему рівнянь:

$\frac{y}{2x}$ – $\frac{x}{y}$ = $\frac{1}{2}$,

y² – 5xy + 2x² = 32.

Нехай $\frac{х}{у}$ = а, тоді $\frac{у}{х}$ = $\frac{1}{а}$ : $\frac{1}{2а}$ – а = $\frac{1}{2}$. Оскільки а ≠ 0, то

–2а² – а + 1 = 0; 2а² + а – 1 = 0; D = 1 + 8 = 9;

a₁ = $\frac{-1+3}{4}$ = $\frac{1}{2}$, a₂ = $\frac{-1-3}{4}$ = –1. Якщо а = $\frac{1}{2}$, то $\frac{х}{у}$ = $\frac{1}{2}$, у = 2х.

$\frac{2x}{2x}$ – $\frac{x}{2x}$ = $\frac{1}{2}$, 1 – $\frac{1}{2}$x = $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{2}$x + 1 = $\frac{1}{2}$,

(2x)² – 5x • 2x + 2x² = 32; 4x² – 10x² + 2x² = 32; –4x² = 32;

розв’язків немає. Якщо а = –1, то $\frac{х}{у}$ = –1, х = –у.

$\frac{y}{-2y}$ – $\frac{-y}{y}$ = $\frac{1}{2}$, –$\frac{1}{2}$ + 1 = $\frac{1}{2}$,

y² – 5y • (–y) + 2(–y)² = 32; y² + 5y² + 2y² = 32;

8y² = 32; y² = 4; y = ±2.

Якщо у = 2, то х = –2; якщо у = –2, то х = 2.

Відповідь: (2; –2), (–2; 2).