Відповіді до завдань § 12 - § 14

Відповіді до завдань § 12 - § 14: 13.33

Готова відповідь до завдання 13.33 з ГДЗ Алгебра 9 клас Істер.

Алгебра, 9 клас · Відповіді до завдань § 12 - § 14

Текстова відповідь

13.33. (Київська математична олімпіада, 1989 р.) Нехай a, b, c – до датні числа. Доведіть, що.

Застосуємо нерівність: (a – b)² ≥ 0; a² + b² – 2ab ≥ 0; a² + b² ≥ 2ab.

Маємо: враховуючи, що для a > 0, b > 0, якщо a > b, то $\frac{1}{a}$ < $\frac{1}{b}$ ,

$\frac{a + b}{a^{2} + b^{2}}$ ≤ $\frac{a + b}{2 ab}$ = $\frac{1}{2 b}$ + $\frac{1}{2 a}$ ; $\frac{b + c}{a^{2} + b^{2}}$ ≤ $\frac{b + c}{2 bc}$ = $\frac{1}{2 c}$ + $\frac{1}{2 b}$ ;

$\frac{c + a}{a^{2} + b^{2}}$ ≤ $\frac{c + a}{2 ca}$ = $\frac{1}{2 a}$ + $\frac{1}{2 c}$ . додамо почленно ці нерівності.

$\frac{a + b}{a^{2} + b^{2}}$ + $\frac{b + c}{b^{2} + c^{2}}$ + $\frac{c + a}{c^{2} + a^{2}}$ ≤ $\frac{1}{2 b}$ + $\frac{1}{2 a}$ + $\frac{1}{2 c}$ + $\frac{1}{2 b}$ + $\frac{1}{2 a}$ + $\frac{1}{2 c}$ = $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ .