Відповіді на вправи: 48.37

48.37 Із трьох квадратів, довжина сторони кожного з яких є цілим числом сантиметрів, складено прямокутник, площа якого 150 см². Знайдіть периметр прямокутника.

Необхідно розглянути два випадки розташування квадратів.

І випадок. Квадрати рівні. Площа кожного з них 150 : 3 = 50 (см2). Нехай а см—сторона квадрата. Тоді а2 = 50. Проте, не існує такого цілого числа,

квадрат якого дорівнює 50. Цей випадок не відповідає умові.

II випадок. Нехай сторона меншого квадрата а см, тоді більшого — 2а см. Маємо а2 + а2 + (2а)2 = 150; 6а2 = 150; а2 = 25; а = 5 (см). Тоді периметр прямокутника 2(3а + 2а) = 10а = 10 • 5 = 50 (см).

Відповідь: 50 см.

Домашня самостійна робота №10

1. На якому з малюнків А–Г зображено п’ятикутник, описаний навколо кола?

Відповідь: Б.

2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 7 см і

4 см. А. 28 см; Б. 22 см; В. 28 см²; Г. 11 см².

S = 7 • 4 = 28 (см²).

Відповідь: В. 28 см².

3. Знайдіть площу паралелограма, одна зі сторін якого дорівнює

8 см, а висота, проведена до цієї сторони, – 5 см.

А. 40 см²; Б. 26 см²; В. 20 см²; Г. 13 см².

S = 8 • 5 = 40 (см²).

Відповідь: А. 40 см².

4. Обчисліть суму внутрішніх кутів опуклого 10–кутника.

А. 360°; Б. 1800°; В. 1620°; Г. 1440°.

180°(10 – 2) = 180° • 8 = 1440°.

Відповідь: Г. 1440°.

5. Знайдіть сторону трикутника, якщо його площа дорівнює 24 см², а висота, проведена до цієї сторони, – 6 см.

А. 4 см; Б. 18 см; В. 8 см; Г. 12 см.

S = 12ah; 12 • 6 • a = 24; За = 24; а = 8 (см).

Відповідь: В. 8 см.

6. Одна з основ трапеції дорівнює 5 см, а її висота – 4 см. Знайдіть

другу основу трапеції, якщо її площа дорівнює 28 см².

А. 11 см; Б. 2 см; В. 7 см; Г. 9 см.

S = a+b2 • h; 5+b2 • 4 = 28; 5 + b = 14; b = 9 (см).

Відповідь: Г. 9 см.

7. Прямокутник, сторони якого дорівнюють 16 дм і 9,5 дм, розрізали

на квадрати зі стороною 0,5 дм. Скільки отримали квадратів?

А. 612; Б. 608; В. 51; Г. 618.

1. 1) S₁ = 16 • 9,5 = 152 (дм²).

2) S₂ = 0,5² = 0,25 (дм²).

3) n = S₁ : S₂ = 152 : 0,25 = 608 (квадратів).

Відповідь: Б. 608.

8. Більша діагональ прямокутної трапеції дорівнює 13 см, а висота – 5 см. Знайдіть площу трапеції, якщо її менша основа дорівнює 8 см.

А. 50 см²; Б. 52,5 см²; В. 100 см²; Г. 62,5 см².

1) АВ = 5 см – висота трапеції і її бічна сторона.2) У ∆ABD: AD = BD2- AB2 = 132- 52 = 12 (см).3) S = AD+BC2 • AB = 12+82 • 5 = 50 (см2).

Відповідь: А. 50 см.

9. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 8 см і 10 см.

А. 80 см²; Б. 20 см²; В. 40 см²; Г. 36 см².

Використовуючи формулу задачі 920, п. 2, маємо S = 12 • 8 • 10 = 40 (см²).

Відповідь: В. 40 см².

10. У прямокутному трикутнику гіпотенуза точкою дотику вписаного кола ділиться на відрізки 3 см і 10 см. Знайдіть площу трикутника.

А. 60 см²; Б. 50 см²; В. 40 см²; Г. 30 см².

1) За властивістю відрізків дотичних маємоBM = BK = 3 см; AL = AK = 10 см.2) Позначимо MC = CL = х см.3) У ∆ABC: AB2 = BC2 + CA2;1З2 = (3 + х)2 + (10 + х)2;

169 = 9 + 6х + х² + 100 + 20х + х²; 2х² + 26х – 60 = 0;

х² + 1Зх – 30 = 0. D = 1З² – 4 • 1 (–30) = 289 = 17².

х₁ = -13+172 = 2 (см); х₂ = -13-172 < 0 – не задовольняє умову.

4) Тоді ВС = 2 + 3 = 5 (см); АС = 2 + 10 = 12 (см).

5) S = 12 AC • BC = 12 • 12 • 5 = 30 (cм²).

Відповідь: Г. 30 см².

11. Більша основа рівнобічної трапеції дорівнює 12 см. Точка

перетину діагоналей віддалена від основ на 2 см і 3 см. Знайдіть

площу трапеції. А. 75 см²; Б. 50 см²; В. 100 см²; Г. 150 см².

1) ∆BOC ~ ∆DOA (за двома кутами).Тому BOOD = BCAD.2) ∆BKO ~ ∆DLO (за двома кутами).Тому BOOD = KOLO.

3) Маємо BOOD = BCAD і BOOD = KOLO, тому BCAD = KOLO.

4) За умовою AD = 12 см; ОК = 2 см; OL = 3 см. Тоді BC12 = 23;

BC = 8 (см).

5) KL = KO + OL = 2 + 3 = 5 (см).

6) S = AD+BC2 • KL = 12+82 • 5 = 50 (см²).

Відповідь: 50 см².

12. Сторони паралелограма дорівнюють 12 см і 9 см, а сума двох його висот, проведених з одн ієї вершини, – 7 см. Знайдіть площу паралелограма. А. 108 см²; Б. 48 см²; В. 36 см²; Г. 27 см².

1) Нехай BK і BL — висоти паралелограма. Позначимо BK = х см, тоді BL = 7 – х (см).2) S = AD • BK = CD • BL; 12 • х = 9(7 – х);12х = 63 – 9х; 21x = 63; х = 3 (см).3) S = 12 • 3 = 36 (см2).Відповідь: В. 36 см2.

13. Установіть відповідність між інформацією про многокутник (1-3) та кількістю його сторін (А-Г).

1. Сума внутрішніх кутів дорівнює 900° - В.

(n − 2) • 180° = 900; n – 2 = 5; n = 7.

2. Усі зовнішні кути рівні між собою і становлять по 45° - Г.

360° : 45° = 8.

3. Многокутник має 9 діагоналей – Б.

6 • 32 = 9.

Завдання для перевірки знань до §44 – §48

1. Накресліть коло, впишіть у нього п’ятикутник та опишіть навколо нього семикутник.

П’ятикутник, вписаний у коло; семикутник, описаний навколо кола.

2. Знайдіть площу прямокутника, сторони якого дорівнюють 6 см і

9 см.

S = 6 • 9 = 54 (см²).

3. Знайдіть площу паралелограма, одна зі сторін якого дорівнює

7 см, а висота, проведена до цієї сторони, – 4 см.

S = 7 • 4 = 28 (см²).

4. Обчисліть суму кутів опуклого 15–кутника.

180°(15 – 2) = 180° • 13 = 2340°.

5. Площа трикутника дорівнює 30 см², а одна з його сторін – 12 см. Знайдіть висоту трикутника, проведену до цієї сторони.

S = 12 ah; 30 = 12 • 12 • h; 6h = 30; h = 5 (см).

6. Площа трапеції дорівнює 35 см², одна з її основ – 8 см, а висота – 7 см. Знайдіть другу основу трапеції.

S = a+b2 • h; 35 = 8+b2 • 7; b + 8 = 10; b = 2 (см).

7. Прямокутник, сторони якого 12 дм і 7,5 дм, розрізали на квадрати зі стороною 0,5 дм. Скільки утворилося квадратів?

1) S₁ = 12 • 7,5 = 90 (дм²).

2) S₂ = 0,5² = 0,25 (дм²).

3) n = S₁ : S₂ = 360 (квадратів).

Відповідь: 360 квадратів.

8. Знайдіть площу ромба, діагоналі якого дорівнюють 6 см і 12 см.

Використовуючи формулу задачі 920, п. 2, маємо S = 12d₁d₂ = 12 • 6 • 12 = 36 (см²).

Відповідь: 36 см².

9. Менша основа трапеції дорівнює 12 см. Точка перетину діагоналей віддалена від основ на 3 см і 5 см. Знайдіть площу трапеції.

1) ∆BOC ~ ∆DOA (за двома кутами).Тому BOOD = BCAD.2) ∆BKO ~ ∆DLO (за двома кутами).Тому BOOD = KOLO.

3) Маємо BOOD = BCAD і BOOD = KOLO, тому BCAD = KOLO.

4) За умовою AD = 12 см; ОК = 3 см; OL = 5 см. Тоді 12AD = 35;

AD = 20 (см).

5) KL = KO + OL = 3 + 5 = 8 (см).

6) S = AD+BC2 • KL = 20+122 • 8 = 128 (см²).

Відповідь: 128 см².

10. Відношення площ двох квадратів дорівнює 7. Знайдіть

відношення їх периметрів.

1) Нехай а — сторона першого квадрата, b – сторона другого.

2) Тоді за умовою a2b2 = 7; (ab)² = 7; ab = 7.

3) P1P2 = 4a4b = ab = 7.

Відповідь: 7.

11. Висоти паралелограма дорівнюють 5 см і 6 см, а сума двох його суміжних сторін – 22 см. Знайдіть площу паралелограма.

1) BK і BL — висоти паралелограма.2) Позначимо AD = х см, тоді BC = 22 – х (см).3) S = AD • BK= CD • BL; х • 5 = (22 – х) • 6; 5х = 132 – 6х; 11x = 132; х = 12 (см).

4) S = 12 • 5 = 60 (см²).

Відповідь: 60 см².