Відповіді на вправи: 38.46

38.46 (Задача Архімеда.) Якщо в колі хорди AB і CD перетинаються

в точці E під прямим кутом, то сума квадратів відрізків AE, BE, CE і DE дорівнює квадрату діаметра. Доведіть це.

1) Позначимо AE = a; EB = b; CE = с; ED = d. Необхідно довести, що а2 + b2 + с2 + d2 = (2R)2 = 4R2, де R — радіус кола.2) Позначимо AD = x; BC = у. Тоді у ∆AED: а2 + d2 = х2, а у ∆CEB: b2 + с2 = у2. Отже, а2 + b2 + c2 + d2 = x2 + у2. (1)3) Проведемо AK ∥ CD. Тоді ADCK — трапеція.

Оскільки ця трапеція вписана у коло, то вона є рівнобічною і CK = AD = х.

4) Оскільки ∠KAB = 90°, то KB — діаметр кола.

5) Тому ∠KCB = 90°, у ∆СКВ: х² + у² = KB² = (2R)² = 4R².

6) Враховуючи рівність (1), маємо а² + b² + c² + d² = 4R², що й треба було довести.