Задачі підвищеної складності з алгебри: 33

33. Для якого значення b сума квадратів коренів рівняння x² + (b + 1)х + b² – 1,5 = 0 буде найбільшою?

х² + (b + 1)х + b² – 1,5 = 0.

Нехай x₁ і х₂ — корені рівняння, тоді за теоремою Вієта x₁ + х₂ = –(b + 1); x₁x₂ = b² – 1,5.

Маємо x12 + x22 = (x₁ + х₂)² – 2x₁x₂ = (b + 1)² – 2(b² – 1,5) = b² + 2b + 1 – 2b² + 3 = –b² + 2b + 4 = –(b² – 2b + 1 – 1 – 4) = –((b – 1)² – 5) = 5 – (b – 1)². При b = 1 вираз 5 – (b – 1)² набуває найбільшого значення.

Відповідь: 1.