Вправи: 877

877. (Задача Архімеда) Дві хорди, що перетинаються, взаємно перпендикулярні. Доведіть, що сума квадратів відрізків цих хорд дорівнює квадрату діаметра (мал.391).

DC ⊥ AB. Проведемо BE ∥ CD ⇒ BE ⊥ АВ.

∠ABE – 90° і є вписаним кутом, тому АЕ — діаметр кола.

∆АЕС: ∠ACE = 90°, бо спирається на діаметр. АЕ² = АС² + СE².

∪BD = ∪EC (як розташовані між BE ∥ CD) ⇒ DB = EC.

∆DBM: ∠DMB = 90°; DB² = DM² + MB².

∆AMC: ∠AMC = 90°; AC² = AM² + MC².

Тоді DB² + AC² = MD² + MB² + MA² + MC² = EC² + AC² = AE² = d².