Відповіді до § 11 - § 16: 13.50

13.50 Доведіть, що бісектриси кутів прямокутника, який не є квадратом, перетинаючись, утворюють квадрат.

1) Нехай ABCD — прямокутник.2) ∠FCD = 90°2 = 45°. Тому у ∆CFD:∠CFD = 45°.3) ∠MAF і ∠CFD — відповідні кути, утвореніпри перетині паралельних прямих AM і FC січною AD. Тому AM ∥ NL.

4) Аналогічно можна довести, що KN ∥ ML.

Тому KMLN — паралелограм.

5) У ∆АВК: ∠K= 180° – 2 • 45° = 90°.

6) ∠MKN= ∠ABK (як вертикальні). Отже, ∠MKN = 90°. Тому KMLN —

прямокутник.

7) ∆AMD — рівнобедрений, тому AM = MD.

8) ∆ABK = ∆CLD (за стороною і двома кутами). Тому AK = LD.

9) AM = MD і AK = LD, отже KM = ML. А тому KMLN — квадрат, що й

треба було довести.