Вправи
Вправи: 1065
Готова відповідь до завдання 1065 з ГДЗ Алгебра 8 клас Тарасенкова.
Алгебра, 8 клас · Вправи
Текстова відповідь
1065. Місця в літаку розташовані у 20 рядів, у кожному ряду є по 3 місця, розділені проходом, ліворуч і праворуч від проходу (мал. 62).
Комп’ютерна програма випадковим чином обирає місце для пасажира. Визначте ймовірність того, що пасажирові дістанеться місце в першому або останньому ряду.
20 рядів по 3 місця;
A – «дістанеться місце в першому або останньому ряду»;
n = 20; m = 2.
P(A) = mn; P(A) = 220 = 110.
Відповідь: 110.
Стор.315
Тестові завдання
1. У класі навчається 15 дівчат і 12 хлопців. На скільки відсотків дівчат більше, ніж хлопців?
Дівчата – 15 учн.
на ? % більше
Хлопців – 12 учн.
15-1212 • 100 = 312 • 100 = 14 • 100 = 25 %.
Відповідь: Г.
2. На діаграмі (мал. 63) відображено інформацію про кількість придбаних футболок різного розміру для спортивної команди. Знайдіть моду отриманих даних.
Мода Мо = 15.
Відповідь: А.
3. Трикутник, квадрат і круг зафарбували випадковим чином в один із кольорів веселки, причому різні фігури зафарбували в різні кольори. Яка ймовірність того, що круг буде зеленого кольору?
n = 7;
A – «круг буде зеленого кольору»;
m = 1.
P(A) = mn; P(A) = 17.
Відповідь: Б.
4. Скільки двоцифрових чисел, більших за 50, можна скласти із цифр 2, 4, 5, 8, якщо всі цифри в записі числа — різні?
2, 4, 5, 8.
2 • 3 = 6 (сп.) – скласти двоцифрове число, більше за 50, якщо цифри в записі числа різні.
Відповідь: Б.
5. До сплаву масою 600 г додали 40 г міді, після чого відсотковий вміст міді у сплаві збільшився на 5 %. Скільки грамів міді містив початковий сплав?
| Сплав | Вміст міді |
| І – 600 г | х600 |
| на 5% більше | |
| ІІ – (600 + 40) г | х+40640 |
Нехай у початковому сплаві було x г міді.
Складаємо рівняння:
х+40640 = х600 + 0,05 | • (640 • 600);
600(х + 40) = 640х + 0,05 • 384000;
600x + 24000 = 640x + 19200;
600x – 640x = 19200 – 24000;
–40х = –4800;
x = 120.
120 г міді містив початковий сплав.
Відповідь: В.
Задачі і вправи для повторення
1. Визначте ОДЗ кожної змінної виразу:
1) 2х-12х2+1; ОДЗ: x – будь–яке число.
2) 3у-24у2+12у;
4y² + 12y = 0;
4y (у + 3) = 0;
4y = 0 або y + 3 = 0;
y = 0. y = –3.
ОДЗ: у ≠ 0; у ≠ –3.
3) 5а+3а2+3а+2;
а² + 3a + 2 = 0;
а1 + а2 = –3; а1 • а2 = 2;
а1 = –1; а2 = –2.
ОДЗ: а ≠ –1; а ≠ –2.
4) 3х – 2y : 4(x + 1)(2y – 1)²;
4(x + 1)(2y – 1)² = 0 | : 4;
(x + 1)(2y – 1)² = 0;
х + 1 = 0 або 2у – 1 = 0;
х = –1. 2у = 1 | : 2;
y = 0,5.
ОДЗ: х ≠ –1; у ≠ 0,5.
5) 3abc(3a+1)2(4b-1)2c3;
(3a + 1)2(4a – 1)2c3 = 0
(3a + 1)2 = 0 або (4b – 1)2 = 0; c3 = 0;
3a + 1 = 0; 4b – 1 = 0; c = 0.
3a = –1; 4b = 1;
a = –13; b = 14;
ОДЗ: а ≠ –13; b ≠ 14; c ≠ 0.
6) 5x+1yz22x33-2y(5z- 13)2;
2x3(3 – 2y)(5z – 13)2 = 0 | : 2;
x3(3 – 2y)(5z – 13)2 = 0;
x3 = 0 або 3 – 2y = 0 або (5z – 13)2 = 0;
x = 0. 2y = 3; 5z – 13 = 0;
y = 1,5. 5z = 13 | : 5;
z = 2,6.
2. За яких значень змінної х не має змісту вираз:
1) 2x-12x+1;
2x + 1 = 0;
2x = –1 | :2;
x = –0,5; ОДЗ: х ≠ –0,5.
2) 3x-13x2+ 12x;
3x2 + 12x = 0;
3x(x + 4) = 0;
3x = 0 або x + 4 = 0;
x = 0 x = –4.
ОДЗ: x ≠ 0; x ≠ –4.
3) x+1x3- 1;
x3 – 1 = 0;
x3 = 1;
x = 1.
ОДЗ: х ≠ 1.
3. Скоротіть дріб:
1) x2x2- 2x = x2x(x-2) = xx-2;
2) x4- x2x4+ x3 = (x2- x)(x2+ x)x2(x2+ x) = x2- xx2 = x(x-1)x2 = x-1x;
3) 16-a24a+a2 = 4-a(4+a)a(4+a) = 4-aa;
4) a3- 27b3a2+ 3ab+ 9b2 = a-3b(a2+ 3ab+ 9b2)a2+ 3ab+ 9b2 = a – 3b.
4. Скоротіть дріб:
1) x2- 1x-1 = x-1(x+1)x-1 = x + 1;
2) x2+ 4x+42x+4 = (x+2)22(x+2) = x+22;
3) x2- 3x+2x2- 1 = x-1(x-2)x-1(x+1) = x-2x+1;
x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2);
x1 + x2 = 3; x1 • x2 = 2;
x1 = 1; x2 = 2.
4) x2- 3x-41-x2 = x+1(x-4)1-x(1+x) = x-41-x.
x2 – 3x – 4 = (x + 1)(x – 4);
x1 + x2 = 3; x1 • x2 = –4;
x1 = –1; x2 = 4.
5. Зведіть до найменшого спільного знаменника дроби:
1) 1x-3, 13x-9, 118-6x.
1x-3, 13(x-3), 16(3-x).
1\6x-3, 1\23(x-3), -16(x-3)
66(x-3), 26(x-3), -16(x-3).
2) 1x, 1x2+ x, 1x+1;
1\x+1x, 1x(x+1), 1\xx+1.
x+1x(x+1), 1x(x+1), xx(x+1).
3) 1x+2, 1x2- 4, 1x-2.
1\x-2x+2, 1x2- 4, 1\x+2x-2.
x-2x2- 4,1x2- 4, x+2x2- 4.
4) 1x2+ x+1, 1x3- 1, 1x2- 2x+1;
1(x-1)2x2+ x+1, 1\x-1x-1(x2+ x+1), 1\x2+x+1(x-1)2;
(x-1)2(x-1)2(x2+ x+1), x-1(x-1)2(x2+ x+1), x2+ x+1(x-1)2(x2+ x+1).
6. Спростіть вираз:
1) x2+ 3xx2- 9 – x\x-3x+3 = x2+ 3x- x2+ 3xx2- 9 = 6xx2- 9.
2) x\x+4x-4 – 4x+x2x2- 16 = x2+ 4x-4x- x2x2- 16 = 0.
7. Спростіть вираз:
1) (x-3\x-3x+3 – x+3\x+3x-3) : 249-x2 = x2- 6x+9- x2- 6x-9x2- 9 • 9-x224 = -12xx2- 9 • 9-x224 = -12xx2- 9 • x2- 9-24 = x2.
2) (5-x\x-5x+5 + x+5\x+5x-5) : 2025x- x3 = 5x-25- x2+ 5x+ x2+ 10x+25x2- 25 • x(25-x2)20 = 20xx2- 25 • x(x2- 25)-20 = –x2.
8. Виконайте дії:
1) 14x-x2 + (1x2- 4x + 216-x2 + 116+4x) • (x+4x-4)2 = 1x(4-x) + (1x(x-4) + 24-x(4+x) + 14(4+x)) • (x+4)2(x-4)2 = 1x(4-x) + (-1\4(4+x)x(4-x) + 2\4x4-x(4+x) + 1\x(4-x)4(4+x)) • (x+4)2(x-4)2 = 1x(4-x) + -16-4x+8x+4x- x24x4-x(4+x) • (x+4)2(x-4)2 = 1x(4-x) + -x2+ 8x-164x4-x(4+x) • (4+x)2(x-4)2 = 1x(4-x) – (x-4)24x4-x(4+x) • (4+x)2(x-4)2 = 1\4x(4-x) – 4+x4x(4-x) = 4-4-x4x(4-x) = -x4x(4-x) = 14(x-4).
2) 3y2x4- xy3 + yx3+ x2y+ xy2 – 1x2- xy = 3y2x(x3- y3) + yx(x2+ xy+ y2) – 1x(x-y) = 3y2xx-y(x2+ xy+ y2) + y\x-yx(x2+ xy+ y2) – 1\x2+xy+y2x(x-y) = 3y2+ xy- y2- x2- xy- y2xx-y(x2+ xy+ y2) = y2- x2xx-y(x2+ xy+y2) = y-x(y+x)xx-y(x2+ xy+ y2) = –x+yx(x2+ xy+ y2).
9. Виконайте дії:
1) 1\a-ba+b- 1\a+ba-b1\a-ba+b+ 1\a+ba-b • ab = a-b-a-ba+b(a-b) : a-b+a+ba+b(a-b) • ab = -2ba+b(a-b) • a+b(a-b)2a • ab = –1.
2) 1\b+ca+ 1\ab+c1\b+ca- 1\ab+c • (1\2bc + b2+ c2- a22bc) = b+c+aa(b+c) : b+c-aa(b+c) • 2bc+ b2+ c2-a22bc = b+c+aa(b+c) • a(b+c)b+c-a • (b+c)2- a22bc = b+c+ab+c-a • –b+c-a(b+c+a)2bc = (b+c+a)22bc.
10. Визначте значення х із рівняння:
1) x3+ y3x2+ y2- xy = 17, якщо у = –1;
x+y(x2- xy+ y2)x2- xy+ y2 = 17;
x + y = 17.
Якщо у = –1, то x – 1 = 17; x = 18.
Відповідь: 18.
2) x4- y4 x2+ y2 = 2, якщо у = 14.
(x2- y2)(x2+ y2)x2+ y2 = 2;
x2 – y2 = 2;
Якщо у = 14, то
х2 – (14)2 = 2;
x2 – 14 = 2;
x2 = 16;
x = ±4.
Відповідь: ±4.
11. Знайдіть значення виразу.
2a2+ b2ab = –92; ab < 0; Знайти a2- b22ab.
Розв’язання
2a2+ b2ab = –92; 2a2ab + b2ab = –92; 2ab + ba = –92;
Нехай х = ab.
2x + 1x = –92; 2x + 1x + 92 = 0 | • 2x;
4x2 + 2 + 9x = 0;
4x2 + 9x + 2 = 0;
D = 92 – 4 • 4 • 2 = 81 – 32 = 49;
x1 = -9- 492 •4 = -9-78 = -168 = –2;
x2 = -9+ 492 •4 = -9+78 = -28 = –-14;
ab = –2 або ab = –14;
a = –2b або a = –b4.
Якщо а = –2b, то a2- b22ab = (-2b)2- b22 •-2b•b = 4b2- b2-4b2 = 3b2-4b2 = –34.
2) Якщо а = –b4, то
a2- b22ab = (-b4)2- b22 •-b4•b = b216- b2-b22 = b2- 16b216 : (–b22) = -15b216 • (–2b2) = 158.
Відповідь: –34 або 158.
12. Вкладник поклав у банк на депозитний рахунок р тис. грн під
r % річних із поквартальною капіталізацією відсотків. Складіть вираз, за яким вкладник визначає, скільки коштів буде в нього на рахунку через: 1) 1 рік; 2) 3 роки; 3) n років.
Ao – p тис. грн
Відсоток із поквартальною капіталізацією – r4 %
An – ?
Розв’язання
1) через 1 рік.
An = p(1 + r4)4 тис. грн.
2) через 3 роки.
An = p(1 + r4)12 тис. грн.
3) через n років.
An = p(1 + r4)4n тис. грн.
Відповідь: 1) p(1 + r4)4; 2) p(1 + r4)12; 3) p(1 + r4)4n.
13. Запишіть у вигляді добутку степенів:
1) 2xy = 2x–1 • y–1;
2) npm3 = n • p–1 • m–3;
3) b3d3a2c2 = b3 • d3 • a–2 • c–2;
4) 5ba4c5 = 5b • a–4 • c–5;
5) txyz = t • x–1 • y–1 • z–1;
14. Обчисліть:
1) 2-45 = 124 •5 = 116 •5 = 180;
2) 0,980 • (23)–1 = 1 • 32 = 1,5;
3) 5-25-8• 55 = 5852 • 55 = 5857 = 51 = 5;
4) 4-10• 412 • 4-140 • 4-2 = 41 • 4-2 = 4 • 42 = 4 • 16 = 64.
15. Спростіть вираз:
1) a–10 : a–6 • a–5 = a–10–(–6)–5 = a–10+6–5 = a–9;
2) a–10 : a6 • a–5 = a–10–6–5 = a–21;
3) a–10 : a–6 : a–5 = a–10–(–6)–(–5) = a–10+6+5 = a1 = a;
4) a–10 • a–6 • a–5 = a–10–6–5 = a–21;
5) a0 : a–8 • a–12 = a0–(–8)–12 = a8–12 = a–4;
6) a0 : (a–8 • a–12) = a0 : a–20 = a0–(–20) = a20;
7) (a–4)–3 : (a3)4 = a12 : a12 = 1;
8) (a–4)–3 • (a3)4 = a12 • a12 = a24.
9) (a–10a40)–3 : (a10a–30)0 = a30a–120 : 1 = a–90;
10) (a–10a40)0 : (a10a–30)0 = 1 : 1 = 1.
16. Запишіть у вигляді степеня з основою 3:
1) 9–5 • 37 = (32)–5 • 37 = 3–10 • 37 = 3–3;
2) 272 • 9–7 = (33)2 • (32)–7 = 36 • 3–14 = 3–8;
3) (9–2)3 • (244)–1 = 9–6 • 27–4 = (32)–6 • (33)–4 = 3–12 • 3–12 = 3–24.
4) (812)–9 • (9–2)–3 = 81–18 • 96 = (34)–18 • (32)6 = 3–72 • 312 = 3–60;
5) 27–20 : (9–10)3 = (33)–20 : 9–30 = 3–60 : (32)–30 = 3–60 : 3–60 = 1;
6) 81–5 : 320 = (34)–5 : 320 = 3–20 : 320 = 3–40.
17. Запишіть як степінь:
1) 2–3 • 3–3 = (2 • 3)–3 = 6–3;
2) 10–2 • 5–2 = (10 • 5)–2 = 50–2;
3) 35–3 : 7–3 = (357)–3 = 5–3;
4) 132–1 : 11–1 = (13211)–1 = 12–1.
18. Запишіть у стандартному вигляді число:
| 1) 90 = 9 • 101;2) 112 = 1,12 • 102;3) 3003 = 3,003 • 103; | 4) 0,07 = 7 • 10–2;5) 0,75 = 7,5 • 10–1;6) 142,01 = 1,4201 • 102; |
7) 50 • 102 = 5 • 101 • 102 = 5 • 103;
8) 34 • 10–3 = 3,4 • 101 • 10–3 = 3,4 • 10–2;
9) 524 • 103 = 5,24 • 102 • 103 = 5,24 • 105;
10) 65,8 • 105 = 6,58 • 101 • 105 = 6,58 • 106.
19. Чи належить графіку функції у = 4x точка:
1) A (1; 4) : –4 ≠ 41. Ні.
2) B (2; 2) 2 = 42. Так.
3) C (0; 4) : Ні.
4) M (0,1; 40) : 40 = 40,1. Так.
20. Знайдіть значення k, якщо графік функції у = kx проходить через точку:
1) A (–2; 4) : 4 = k-2; k = –8.
2) B (5; 0,2) : 0,2 = k5; k = 1.
3) C (–0,1; 6) 6 = k-0,1; k = –0,6.
4) D (14; 2,8) : 2,8 = k14; k = 0,7.
21. Чи належить графіку функції у = x2 точка:
1) A (1; –1) : –1 ≠ 12. Ні
2) В (2; 4) : 4 = 22. Так
3) С (–0,1 ; 0,01) : (–0,1)2 = 0,01. Так
4) D (3; 6) : 6 ≠ 32. Ні
5) М (0,5; 0,25) : 0,25 = 0,52. Так
6) N (–1; –1) : –1 ≠ (–1)2. Ні
22. Побудуйте в одній системі координат графіки функцій. Скориставшись графіками функцій, знайдіть координати точок їх перетину.
1) у = х2 і у = 9;
у = –х2;
| х | –3 | –2 | –1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| у | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
А (–3; 9), В (3; 9) – точки перетину.
2) у = –1х і у = х2;
у = –1х;
| х | –4 | –2 | –1 | –12 | 12 | 1 | 2 | 4 |
| у | 14 | 12 | 1 | 2 | –2 | –1 | –12 | –14 |
С (–1; 1) – точка перетину.
23. Оберіть серед чисел:1 ) натуральні; 2) цілі; 3) раціональні;
4) ірраціональні; 5) дійсні.
1) натуральні: 8.
2) цілі: –42; 0; –100; 8.
3) раціональні: –42; –1,(3); 0; 1625; 0,01; –100; –17; 8.
4) іраціональні: 1,6; 25.
5) дійсні: –42; –1(3); 0; 1625; 0,01; –100; 1,6; 25; –17; 8.
24. Порівняйте числа:
| 1) 13 < 0,34;0,(3) < 0,34. | 2) 125 < 2;1,4 < 1,41… |
| 3) 8,344 > 8,(34); | 4) 3 > 1,5;1,73… > 1,5. |
25. Запишіть у вигляді нескінченного періодичного десяткового дробу число:
| 1) 56 = 0,8(3);_50 6 48 0,833… _20 18 20 | 2) 79 = 0,(7);_70 9 63 0,77… 70 |
| 3) 310 = 0,3(0); | |
| 4) 23 = 0,(6);_20 3 18 0,66… 20 |
26. Знайдіть сторону квадрата, якщо його площа дорівнює:
1) S = 25 см2; а = 25 = 5 (см).
2) S = 225 см2; а = 225 = 15 (см).
3) S = 1,44 м2; а = 1,44 = 1,2 (м).
4) S = 0,09 м2; а = 0,09 = 0,3 (м).
5) S = 179 см2; а = 179 = 169 = 43 = 113 (см).
27. Знайдіть значення виразу:
1) 14 • (–10)2 = 12 • 10 = 5;
2) 35 • 120 = 3520 = 314 = 3 • 12 = 1,5;
3) (3)2 + (-3)2 = 3 + |3| = 3 + 3 = 6;
4) 0 • 214 • 2,64 = 0.
28. Внесіть множник під знак кореня:
1) 82 = 82•2 = 64 •2 = 128;
2) 0,12 = 0,12•2 = 0,01 •2 = 0,02;
3) 0,53 = 0,52•3 = 0,25 •3 = 0,75;
4) 4x = 42•x = 16x;
5) xx4, якщо х – від’ємне.
хx4 = –х2•х4 = –х6.
6) ху2ху, якщо х – додатне.
ху2ху = х2у4•ху = х2у5.
29. Винесіть множник з–під знака кореня:
1) 0,4 = 4 •0,1 = 20,1;
2) 2,5 = 25 •0,1 = 50,1;
3) a8 = (a4)2 = a4;
4) 0,01y4 = 0,1y2;
5) x2y2, якщо х – від’ємне, у – додатне;
х2у2 = |x| • |y| = –xy.
6) xy3, якщо х – додатне. yx3 = x2•xy = |x| • xy = xxy.
30. Розв’яжіть рівняння:
1) x2 = 81;
x = 81 або х = –81;
х = 9; х = –9.
Відповідь: ±9.
2) 4x2 = 36 | : 4;
x2 = 9;
x = 9 або х = –9;
х = 3. х = –3.
Відповідь: ±3.
3) x2 – 21 = 0;
x2 = 21;
x = 21 або х = –21;
Відповідь: ±21.
4) x2 + 17 = 0;
x2 = –17, не має розв’язків.
5) (х – 0,5)2 = 1;
х – 0,5 = 1 або х – 0,5 = –1;
х – 0,5 = 1; х – 0,5 = –1;
х = 1 + 0,5; х = –1 + 0,5;
х = 1,5. х = –0,5.
Відповідь: –0,5; 1,5.
6) (х – 8,1)2 + 81 = 0;
(х – 8,1)2 = –81, не має розв’язків.
31. Розв’яжіть рівняння:
| 1) х = 6;х = 62;х = 36.Відповідь: 36. | 2) х = 12;х = 122;х = 144.Відповідь: 144. |
| 3) х-1 + 11 = 0;х-1 = –11;не має розв’язків. | 4) х-5 = 6;х – 5 = 62;х – 5 = 36;х = 36 + 5;х = 41.Відповідь: 41. |
32. Спростіть вираз:
1) 105 + 205 – 255 = 55;
2) (5 + 3)(5 – 3) + (3 + 5)2 = 5 – 3 + 3 + 215 + 5 = 215 + 10;
3) (3+2)2 – (1- 2)2 = 3 + 2 – |1 – 2| = 3 + 2 – (–1 + 2) = 3 +2 + 1 – 2 = 4.
33. Спростіть вираз:
1) 12- 2715- 3 = 3(4- 9)3(5- 1) = 2-35- 1 = –15-1.
2) 25+ 27+ 1 = 27+ 27+ 1 = 2(7+ 1)7+ 1 = 2;
3) 3\3-23+ 2 – 2\3+23- 2 = 3- 6- 6- 23+ 2(3- 2) = 1-263-2 = 1 – 26;
4) 7+ 2\7+27- 2 – 7- 2\7-27+ 2 = 7+47+ 4-(7-47+ 4)7- 2(7+ 2) = 7+47+ 4-7+47- 47- 2(7+ 2) = 877-4 = 873.
34. Спростіть вираз:
1) (a+ 2a- 2 – 4aa-4) : a+4a+ 2 = (a+ 2\a+2a- 2 – 4aa- 2(a+ 2)) • a+ 2a+4 = a+4a+ 4-4aa- 2(a+ 2) • a+ 2a+4 – a+4a- 2(a+4) = 1a- 2;
2) (x+ 1\x+1x- 1 – x- 1\x-1x+ 1) • (x – 1) = x+2x+1-(x-2x+ 1)x- 1(x+ 1) • (x – 1)(x + 1) = x + 2x + 1 – x + 2x – 1 = 4x;
3) x+ 2x-2x+ 1 : x-43x- 3 – 3x- 2 = x+ 2(x- 1)2 • 3(x- 1)x- 2(x+ 2) – 3x- 2 = 3x- 1(x- 2) – 3\x-1x- 2 = 3-3x+ 3x- 1(x- 2) = 6-3xx- 1(x- 2) = 3(2- x)1- x(2- x) = 31- x.
35. Звільніться від ірраціональності в знаменнику:
1) 17 = 1 • 77 • 7 = 77;
2) 1x = 1 • xx • x = xx;
3) 12- 2 = 1 •(2+ 2)2- 2(2+ 2) = 2+ 24-2 = 2+ 22;
4) 511- 6 = 5 •(11+ 6)11- 6(11+ 6) = 5(11+ 6)11-6 = 5(11+ 6)5 = 11 + 6.
36. Розв’яжіть квадратне рівняння:
1) x2 + 8x – 9 = 0;
D = 82 – 4 • 1 • (–9) = 64 + 36 = 100;
x1 = -8- 1002 •1 = -8-102 = –182 = –9;
x2 = -8+ 1002 •1 = -8+102 = 22 = 1;
Відповідь: –9; 1.
2) x2 – 6x – 7 = 0;
D = (–6)2 – 4 • 1 • (–7) = 36 + 28 = 64;
x1 = 6- 642 •1 = 6-82 = -22 = –1;
x2 = 6+ 642 •1 = 6+82 = 142 = 7;
Відповідь: –1; 7.
3) x2 – 6x + 9 = 0;
D = (–6)2 – 4 • 1 • 9 = 36 – 36 = 0;
x1,2 = 6± 02 •1 = 62 = 3;
4) x2 + 6x + 5 = 0;
D = 62 – 4 • 1 • 5 = 36 – 20 = 16;
x1 = -6- 162 •1 = -6-42 = -102 = –5;
x2 = -6+ 162 •1 = -6+42 = -22 = –1.
Відповідь: –1; –5.
37. Знайдіть корені рівняння:
1) 10x = 3x2 + 3;
3x2 – 10x + 3 = 0;
D = (–10)2 – 4 • 3 • 3 = 100 – 36 = 64;
x1 = 10- 642 •3 = 10-86 = 26 = 13;
x2 = 10+ 642 •3 = 10+86 = 186 = 3;
Відповідь: 13; 3.
2) 9y + 2 = 5y2;
3y2 – 9y – 2 = 0;
D = (–9)2 – 4 • 5 • (–2) = 81 + 40 = 121;
y1 = 9- 1212 •5 = 9-1110 = -210 = –15 = –0,2;
y2 = 9+ 1212 •5 = 9+1110 = 2010 = 2;
Відповідь: –0,2; 2.
3) 9x2 + 4 = 12x;
9x2 – 12x + 4 = 0;
D = (–12)2 – 4 • 9 • 4 = 144 – 144 = 0;
x1,2 = 12± 02 •9 = 1218 = 23;
Відповідь: 23 і 23.
4) 4y2 = 20y – 25;
4y2 – 20y + 25 = 0;
D = (–20)2 – 4 • 4 • 25 = 400 – 400 = 0;
y1,2 = 20± 02 •4 = 208 = 52 = 2,5;
Відповідь: 2,5 і 2,5.
38. Розв’яжіть квадратне рівняння за теоремою Вієта:
1) x2 + 14x – 15 = 0;
x1 + x2 = –14; x1 • x2 = –15;
x1 = –15; x2 = 1.
Відповідь: –15; 1.
2) x2 – 9x – 10 = 0;
x1 + x2 = 9; x1 • x2 = –10;
x1 = –1; x2 = 10.
Відповідь: –1; 10.
3) x2 – 6x – 40 = 0;
x1 + x2 = 6; x1 • x2 = –40;
x1 = –4; x2 = 10.
Відповідь: –4; 10.
4) x2 + 2x – 3 = 0
x1 + x2 = –2; x1 • x2 = –3;
x1 = –3; x2 = 1.
Відповідь: –3; 1.
39. Складіть квадратне рівняння, коренями якого є числа:
1) 3 і –2;
x1 + x2 = 3 – 2 = 1; p = –1.
x1 • x2 = 3 • (–2) = –6; q = –6.
x2 – x – 6 = 0.
2) –4 і 1;
x1 + x2 = –4 + 1 = –3; p = 3.
x1 • x2 = –4 • 1 = –4; q = –4.
x2 + 3x – 4 = 0.
3) 3 і 13;
x1 + x2 = 3 + 13 = 313 = 103; p = –103;
x1 • x2 = 3 • 13 = 1; q = 1.
x2 – 103x + 1 = 0 | • 3;
3x2 – 10x + 3 = 0;
4) –2 і 0.
x1 + x2 = –2 + 0 = –2; p = 2.
x1 • x2 = –2 • 0 = 0; q = 0.
x2 + 2x = 0.
40. Один із коренів рівняння x2 + рх – 63 = 0 дорівнює 3. Знайдіть інший його корінь і коефіцієнтр.
x2 + px – 63 = 0;
x1 = 3.
x2 – ? p – ?
Розв’язання
x1 • x2 = –63;
3 • x2 = –63 | : 3;
x2 = –21;
x1 + x2 = 3 – 21 = –18; p = 18.
Відповідь: x2 = –21; p = 18.
41. Один із коренів рівняння 6x2 + x + q = 0 дорівнює 12. Знайдіть інший його корінь і коефіцієнт q.
6x2 + x + q = 0;
x1 = 12.
x2 – ? q – ?
Розв’язання
6x2 + x + q = 0 |: 6;
x2 + 16x + 16q = 0;
x1 + x2 = –16;
12 + x2 = –16;
x2 = –16 – 12;
x2 = -1-36;
x2 = –46 = –23;
x1 • x2 = 12 • (–23) = –13;
16q = –13 | • 6;
q = –2.
Відповідь: х2 = –23; q = –2.
42. Розкладіть квадратний тричлен на лінійні множники:
1) x2 – 7x + 12 = (x – 3)(x – 4);
D = (–7)2 – 4 • 1 • 12 = 49 – 48 = 1;
x1 = 7- 12 •1 = 7-12 = 62 = 3;
x2 = 7 + 12 •1 = 7+12 = 82 = 4;
2) x2 + 2x – 35 = (x + 7)(x – 5);
x1 + x2 = –2; x1 • x2 = –35;
x1 = –7; x2 = 5.
3) 3x2 + 5x + 2 = 3(x + 23)(x + 1) = (3x + 2)(x + 1);
D = 52 – 4 • 3 • 2 = 25 – 24 = 1;
x1 = -5- 12 •3 = -5-16 = -66 = –1;
x2 = -5 + 12 •3 = -5+16 = -46 = –23;
4) –6x2 + 17x – 5 = –6(x – 13)(x – 52) = –3 (x – 13) • 2(x – 52) = –(3x – 1)(2x – 5);
D = 172 – 4 • (–6) • (–5) = 289 – 120 = 169;
x1 = -17- 1692 •(-6) = -17-13-12 = -30-12 = 52;
x2 = -17 + 1692 •(-6) = -17+13-12 = -4-12 = 13.
43. Скоротіть дріб:
1) x+13x2+ 5x+2 = x+13x+2(x+1) = 13x+2;
3x2 + 5x + 2 = 3(x + 23)(x + 1) = (3x + 2)(x + 1);
D = 52 – 4 • 3 • 2 = 25 – 24 = 1;
x1 = -5- 12 •3 = -5-16 = -66 = –1;
x2 = -5 + 12 • 3 = -5+12 •3 = -46 = –23;
2) x2- 11x-26x2- 4 = x+2(x-13)x-2(x+2) = x-13x-2.
x2 – 11x – 26 = (x + 2)(x – 13);
x1 + x2 = 11; x1 • x2 = –26;
x1 = –2; x2 = 13.
3) 6x2- 17x+53x- 1 = 3x-1(2x-5)3x-1 = 2x – 5.
6x2 – 17x + 5 = 6(x – 13)(x – 52) = 3(x – 13) • 2(x – 52) = (3x – 1)(2x – 5);
D = (–17)2 – 4 • 6 • 5 = 289 – 120 = 169;
x1 = 17- 1692 •6 = 17-1312 = 412 = 13;
x2 = 17 + 1692 • 6 = 17+1312 = 3012 = 52;
4) x2- 6x+8x2- 3x-4 = x-2(x-4)x+1(x-4) = x-2x+1.
x2 – 6x + 8 = (x – 2)(x – 4);
x1 + x2 = 6; x1 • x2 = 8;
x1 = 2; x2 = 4.
x2 – 3x – 4 = (x + 1)(x – 4);
x1 + x2 = 3; x1 • x2 = –4;
x1 = –1; x2 = 4.
44. Знайдіть значення дробу:
1) 7x2- 6x-17x+1, якщо х = –28;
7x2- 6x-17x+1 = 7x+1(x-1)7x+1 = x – 1;
7x2 – 6x – 1 = 7(x + 17)(x – 1) = (7x + 1)(x – 1).
D = (–6)2 – 4 • 7 • (–1) = 36 + 28 = 64;
x1 = 6- 642 •7 = 6-814 = -214 = –17;
x2 = 6 + 642 • 7 = 6+814 = 1414 = 1.
Якщо х = –28, то –28 – 1 = –29.
Відповідь: –29
2) 6x2- 11x-21+6x, якщо х = –0,5;
6x2- 11x-21+6x = 6x+1(x-2)1+6x = x – 2.
6x2 – 11x – 2 = 6(x + 16)(x – 2) = (6x + 1)(x – 2).
D = (–11)2 – 4 • 6 • (–2) = 121 + 48 = 169;
x1 = 11- 1692 •6 = 11-1312 = -212 = –16;
x2 = 11+ 1692 • 6 = 11+1312 = 2412 = 2.
Якщо х = –0,5, то –0,5 – 2 = –2,5.
Відповідь: –2,5.
45. Побудуйте графік функції:
1) y = x2- 3x+2x-2 = x-1(x-2)x-2 = x – 1.
ОДЗ: x ≠ 2;
x2 – 3x + 2 = (x – 1)(x – 2);
x1 + x2 = 3; x1 • x2 = 2.
x1 = 1; x2 = 2.
| x | 0 | 1 |
| y | –1 | 0 |
2) y = 3x2+ 2x-1x+1 = 3x-1(x+1)x+1 = 3x – 1.
ОДЗ: x ≠ –1
3x2 + 2x – 1 = 3(x – 13)(x + 1) = (3x – 1)(x + 1).
D = 22 – 4 • 3 • (–1) = 4 + 12 = 16;
x1 = -2- 162 •3 = -6-46 = -66 = –1;
x2 = -2+ 162 • 3 = -2+46 = 26 = 13.
| x | 0 | 1 |
| y | –1 | 2 |
46. Розв’яжіть рівняння:
1) 5x(x – 4) + 1 = x² – 16x;
5x² – 20x + 1 – x² + 16x = 0;
4x² – 4x + 1 = 0
D = (–4)² – 4 • 4 • 1 = 16 – 16 = 0;
x1,2 = 4+0 2•4 = 48 = 12 = 0,5;
Відповідь: 0,5 і 0,5.
2) (y – 1)(y + 3) = y + 3;
y² + 3y – y – 3 – y – 3 = 0;
y² + y – 6 = 0;
y1 + y2 = –1; y1 • y2 = 6;
y1 = –3; y2 = 2
Відповідь: –3 і 2.
3) 2x(x – 2) = x² + 2(x – 4);
2x² – 4x = x² + 2x – 8;
2x² – 4x – x² – 2x + 8 = 0;
x² – 6x + 8 = 0;
х1 + х2 = 6; х1 • х2 = 8;
х1 = 2; х2 = 4.
Відповідь: 2 і 4.
4) (x + 4)(x – 2) + 4 = x;
x² – 2x + 4x – 8 + 4 – x = 0;
x² + x – 4 = 0;
D = 1² – 4 • 1 • (–4) = 1 + 16 = 17;
x1 = -1-17 2•1 = -1-172;
x2 = -1+17 2•1 = -1+172;
Відповідь: -1±172.
47. Розв’яжіть рівняння.
1) 3\x – 14x = 2x-5;
ОДЗ: x ≠ 0; x ≠ 5.
3\x(x–5) – 14\x-5x – 2\xx-5 = 0;
3x2-15x-14x+70-2xx(x-5) = 0;
3x² – 31x + 70 = 0;
D = (–31)² – 4 • 3 • 70 = 961 – 840 = 121;
x1 = 31-121 2•3 = 31-116 = 206 = 103 = 313.
x2 = 31+121 2•3 = 31+116 = 426 = 7.
Відповідь: 313 і 7.
2) 10x-3 – 1 = 8x;
ОДЗ: x ≠ 0; x ≠ 3.
10\xx-3 – 1\x(x–3) – 8\x-3x = 0;
10x-x2+3x-8x+24 x(x-3) = 0;
–x² + 5x + 24 = 0 | • (–1);
x² – 5x – 24 = 0;
х1 + х2 = 5; х1 • х2 = –24;
х1 = –3; х2 = 8.
Відповідь: –3 і 8.
3) 1x+3 + 1x = 320;
ОДЗ: x ≠ 0; x ≠ –3;
1\20xx+3 + 1\20(x+3)x – 3\x(x+3)20 = 0;
20x+20x+60- 3x2-9x20x(x+3) = 0;
–3x² + 31x + 60 = 0;
D = 31² – 4 • (–3) • 60 = 961 – 720 = 1681;
x1 = -31-1681 2•(-3) = -31-41-6 = -72-6 = 12.
x2 = -31+1681 2•(-3) = -31+41-6 = 10-6 = –53 = –123.
Відповідь: –123 і 12.
4) –1x-3 = 1x + 114;
ОДЗ: x ≠ 0; x ≠ 3.
–1x-3 – 1x –114 = 0 | • (–1);
1\4xx-3 + 1\4(x-3)x + 5\x(x-3)4 = 0;
4x+4x-12+x2-15x 4x(x-3) = 0;
5x² – 7x – 12 = 0;
D = (–7)² – 4 • 5 • (–12) = 49 + 240 = 289;
x1 = 7-289 5•2 = 7-1710 = -1010 = –1.
x2 = 7+289 5•2 = 7+1710 = 2410 = 2,4.
Відповідь: –1 і 2,4.
48. Розв’яжіть рівняння.
1) x4 – 26x² + 25 = 0;
t = x², t ≥ 0;
t² – 26t + 25 = 0;
t1 + t2 = 26; t1 • t2 = 25;
t1 = 1; t2 = 25;
x² = 1; x² = 25;
x = ±1. x = ±5.
Відповідь: ±1; ±5.
2) x4 + x² – 2 = 0;
t = x², t ≥ 0;
t² + t – 2 = 0;
t1 + t2 = –1; t1 • t2 = –2.
t1 = –2 – не задовольняє умову;
t2 = 1;
x² = 1;
x = ±1.
Відповідь: ±1.
3) x4 – 40x² + 144 = 0;
t = x², t ≥ 0;
t² – 40t + 144 = 0;
t1 + t2 = 40; t1 • t2 = 144;
t1 = 4; t2 = 36;
x² = 4; x² = 36;
x ± 4; x ± 36;
x = ±2 . x = ±6.
Відповідь: ±2; ±6.
4) 9x4 + 8x² – 1 = 0;
t = x², t ≥ 0;
9t² + 8t – 1 = 0;
D = 8² – 4 • 9 • (–1) = 64 + 36 = 100;
t1 = -8-100 2• 9 = -8-1018 = -1818 = –1 не задовольняє умову.
t2 = -8+100 2•9 = -8+1018 = 218 = 19;
x² = 19;
x = ± 19;
x = ±13;
Відповідь: ±13.
49. Розв’яжіть рівняння.
1) (x² – 9)² – 8(x² – 9) + 7 = 0;
t = x² – 9, t ≥ 0;
t² – 8t + 7 = 0;
t1 + t2 = 8; t1 • t2 = 7;
t1 = 1; t2 = 7;
x² – 9 – 1; x² – 9 = 7;
x² = 10; x² = 16;
x ± 10 x ± 16;
x = ±4;
Відповідь: ±4; ±10.
2) (x² – 3)² + 5(x² – 3) – 6 = 0;
t = x² – 3, t ≥ 0;
t² + 5t – 6 = 0;
t1 + t2 = –5; t1 • t2 = –6;
t1 = –6 – не задовольняє умову;
t2 = 1;
x² – 3 = 1;
x² = 4;
x = ±2.
Відповідь: ±2.
50. Добуток двох чисел дорівнює 90. Знайдіть ці числа, якщо: 1) одне із них на 9 більше за інше; 2) одне із них у 10 разів менше від іншого.
1) І – x;
II – x + 9;
x • (x + 9) = 90;
x² + 9x – 90 = 0;
х1 + х2 = –9; х1 • х2 = –90;
х1 = –15; х2 = 6;
–15 – І число 6 – І число
або
–15 + 9 = +6 – ІІ число 6 + 9 = 15 – ІІ число
Відповідь: –15 і –6 або 6 і 15.
2) І – x;
II – 10x;
x • 10x = 90;
10x² = 90;
x² = 9;
x = ± 9;
x = ±3;
10 • (–3) – І число 3 – І число
або
10 • (–3) = –30 – ІІ число 10 • 3 = 30 – ІІ число
Відповідь: –3 і –30 або 3 і 30.
51. Знайдіть два послідовні натуральні числа, добуток яких дорівнює 380.
І число – n + 1;
ІІ число – n + 2;
(n + 1)(n + 2) = 380;
n² + 3n – 378 = 0;
D = 3² – 4 • 1 • (–378) = 9 + 1512 = 1521;
n1 = -3-1521 2• 1 = -3-392 = -422 = –21 не задовольняє умову.
n2 = -3+1521 2•1 = -3+392 = 362 = 18;
n + 1 = 18 + 1 = 19;
n + 2 = 18 + 2 = 20.
Відповідь: 19 і 20.
52. Із Хмельницького до Івано–Франківська одночасно виїхали автобус і автомобіль. Швидкість автомобіля на 20 км/год більша за швидкість автобуса, тому він прибув до пункту Б на 1 год раніше. Знайдіть швидкість автобуса й автомобіля, якщо відстань між Хмельницьким та Івано–Франківськом становить 240 км.
| V | t | S |
| Автобус – x км/год | 240х год | 240 км |
| Автомобіль – (x + 20) км/год | 240х+20 год, на 1 год < | 240 км |
Складаємо рівняння:
240x – 240x+20 = 1;
ОДЗ: x ≠ 0; x ≠ –20;
240\х+20x – 240\xx+20 – 1\x(x+20) = 0;
240x+4800-240x - x2-20xx(x+20) = 0;
–x² – 20x + 4800 = 0 | • (–1);
x² + 20x – 4800 = 0;
х1 + х2 = –20; х1 • х2 = –4800;
х1 = –80 – не задовольняє умову;
х2 = 60;
60 км/год – V автобуса;
60 + 20 = 80 (км/год) – V автомобіля.
Відповідь: 60 км/год; 80 км/год.
53. Відстань від Кропивницького до Житомира, завдовжки 400 км, пасажирський потяг проїхав на годину швидше, ніж товарний. Знайдіть швидкість руху кожного потяга, якщо пасажирський за годину проїжджає на 20 км більше.
| V | t | S |
| П. – (x + 20) км/год | 400х+20 год, на 1 год < | 400 км |
| Т. – x км/год | 400х год | 400 км |
Складаємо рівняння:
400x – 400x+20 = 1;
ОДЗ: x ≠ 0; x ≠ –20;
400\х+20x – 400\xx+20 – 1\x(x+20) = 0;
400x+8000-400x - x2-20xx(x+20) = 0;
–x² – 20x + 8000 = 0 | • (–1);
x² + 20x – 8000 = 0;
х1 + х2 = –20; х1 • х2 = –8000;
х1 = –100 – не задовольняє умову;
х2 = 80;
80 км/год – V товарного потяга;
80 + 20 = 100 (км/год) – V пасажирського потяга.
Відповідь: 80 км/год; 100 км/год.
54. Катер проплив 24 км за течією річки й повернувся назад, витративши на весь ш лях 3 год 20 хв. Знайдіть швидкість катера, якщо швидкість течії річки дорівнює 3 км/год.
| V | t | S |
| За течією – (x + 3) км/год | 24х+3 | 24 км |
| 3 год 20 хв | ||
| Проти течії – (x – 3) км/год | 24х-3 | 24 км |
Vтеч. = 3 км/год;
Vвл. – x км/год;
Складаємо рівняння:
24x+3 + 24x-3 = 313;
ОДЗ: x ≠ ± 3.
24\3(х-3)x+3 + 24\3(x+3)x-3 – 10\х2-93 = 0;
72х-216+72х+216-10x2+90 3(x+3)(x-3) = 0;
–10x² + 144x + 90 = 0 | : (–2);
5x² – 72x – 45 = 0;
D = (–72)² – 4 • 5 • (–45) = 5184 + 900 = 6084;
x1 = 72-6084 2•5 = 72-7810 = -610 = –0,6 – не задовольняє умову.
x2 = 72+6084 2•5 = 72+7810 = 15010 = 15.
15 км/год – V катера.
Відповідь: 15 км/год.
55. Довжина ділянки землі прямокутної форми в 6 разів більша за її ширину, а її площа дорівнює 384 м2. Знайдіть розміри земельної ділянки.
Довжина – 6x м;
Ширина – x м;
S = 384 м²;
Складаємо рівняння:
6x • x = 384;
6x² = 384 | : 6;
x² = 64;
x = ± 64;
x1 = –8 – не задовольняє умову;
x2 = 8;
8 м – довжина ділянки;
6 • 8 = 48 (м) – ширина ділянки.
Відповідь: 8 м; 48 м.
56. Довжина ділянки землі прямокутної форми в 5 разів більша за її ширину. Коли ширину ділянки збільшили на 9 м, її площа збільшилась у 4 рази. Знайдіть початкові розміри земельної ділянки.
Довжина – 5x м;
Ширина – x м; на 9 м більше;
S = 5x • x м²; в 4 рази більше;
Складаємо рівняння:
5x(x + 9) = 4 • (5x²);
5x² + 45x = 20x²;
20x² – 5x² – 45x = 0;
15x² – 45x = 0;
15x(х – 3) = 0;
15x = 0 або x – 3 = 0; x = 3;
x = 0 – не задовольняє умову.
3 м – початкова ширина ділянки.
5 • 3 = 15 (м) – початкова довжина ділянки.
Відповідь: 3 м і 15 м.
57. Спортивний костюм коштує 1200 грн. Скільки гривень буде коштувати костюм після знижки на 12,5 %?
| Було | Змінилося | Стало |
| 1200 грн | –12,5% | ? грн |
Розв'язання
1) 1200 • 0,125 = 150 (грн) – знижка;
2) 1200 – 150 = 1050 (грн) – нова ціна.
Відповідь: 1050 грн.
58. 250 г сиропу містить 15 % цукру. Скільки грамів води потрібно додати до цього сиропу, щоб отриманий сироп містив 10 % цукру?
| Маса сиропу | Вміст цукру | Маса цукру |
| І – 250 г | 15% | 0,15 • 250 г |
| ІІ – (250 + x) г | 10 % | 0,1 • (250 + x) г |
Складаємо рівняння:
0,1(250 + x) = 0,15 • 250;
25 + 0,1x = 37,5;
0,1x = 37,5 – 25;
0,1x = 12,5;
x = 125.
125 г – води потрібно додати.
Відповідь: 125 г.
59. Бак було наповнено дощовою водою на 75 % . Витратили 40 % води. Який відсоток баку ще заповнено водою?
| Було | Змінилося | Стало |
| 75% | –40% | ? грн |
Розв'язання
Нехай в баку було 0,75 x води.
1) 0,4 • 0,75x = 0,3x – витратили;
2) 0,75x – 0,3x = 0,45x – залишилося;
3) 0,45хх • 100 = 45% – на стільки заповнено бак.
Відповідь: 45%.
60. Сливи під час сушіння втрачають 75 % своєї маси. Сушені сливи містять 16 % води. Скільки відсотків води містять свіжі сливи?
| Маса слив | Вміст води | Маса води |
| Свіжі – x | ? % | ? |
| Сушені – 0,25x | 16 % | 0,16 • 0,25х |
Розв'язання
Нехай маса свіжих слив дорівнює х.
1) 0,16 • 0,25x = 0,04x – води у сушених сливах;
2) 0,25x – 0,04x = 0,21x – сухої речовини у сушених та свіжих сливах;
3) x – 0,21x = 0,79x – води у свіжих сливах;
4) 0,79хх • 100 = 79% – води у свіжих сливах.
Відповідь: 79%.
61. На шкільних змаганнях зі стрибків у довжину серед хлопців були зафіксовані результати: 178 см, 182 см, 170 см, 168 см, 150 см,
175 см, 185 см, 182 см, 168 см, 158 см. Знайдіть середнє значення та моду отриманих даних.
х = 150+158+168•2+170+175+178+182•2+18510 = 171610 = 171,6 (см).
Мода Мо1 = 168 см; Мо2 = 182 см.
Відповідь: 171,6 см; 168 см і 182 см.
62. Середнє арифметичне вибірки із 6 елементів дорівнює 18,5. Після видалення із цієї вибірки одного числа середнє арифметичне нової вибірки стало дорівнювати 14. Знайдіть видалене число.
х = 18,5;
x1 = 14;
Видалене число – ?
1) 6 • 18,5 = 111 – сума 6–ти елементів;
2) 5 • 14 = 70 – сума 5–ти елементів;
3) 111 – 70 = 41 – видалене число.
Відповідь: 41.
63. Після уроку з теми «Стохастика» на дошці залишилась таблиця (табл. 1) і Відповідь: «Середнє значення дорівнює 10»
1. Відновіть запис у таблиці.
2. Знайдіть моду отриманих даних
Елемент 4 7 x
Частота 5 2 3
х = 10.
Розв'язання
1) 4•7+7•2+х•310 = 10;
20 + 14 + 3х = 100;
3х = 100 – 34;
3х = 66;
x = 22.
2) Мода Мо = 4.
Відповідь: 1) 22; 2) 4.
64. Результати дослідження зашифрували в частотну таблицю
(табл. 2). Знайдіть х, якщо середнє арифметичне вибірки дорівнює 3.
Елемент 0 1 3 5 6
Частота 8 2х 3х – 1 6 х + 5
х = 3.
Розв'язання
0•8+1•2х+33х-1+5•6+6•(х+5)8+2х+3х-1+6+х+5 = 3;
2х+9х-3+30+6х+306х+18 = 3;
17x + 57 = 3 • (6x + 18);
17x + 57 = 18x + 54;
17x – 18x = 54 – 57;
–x = –3;
x = 3.
Відповідь: 3.
65. У таблиці 3 наведені дані про середню температуру повітря в Києві за дослідженнями pogoda33.ua. За цими даними складіть стовпчасті діаграми. Обчисліть середню температуру повітря в Києві за рік і моди отриманих даних.
–4°С, –3°C, 2°C, 9°C, 16°C, 19°C, 21°C, 20°C, 14°C, 2°C, –2°C.
х = -4-3+2+9+16+19+21+20+14+8+2-212 = 10212 = 8,5°C.
Мода Мо = 2°C.
66. Із цифр 1, 5, 7, 8 склали всі можливі чотирицифрові числа без повторення цифр. Скільки серед них таких, які: 1) починаються цифрою 1; 2) парних; 3) починаються з 51; 4) не починаються цифрою 7?
1, 5, 7, 8
4 • 3 • 2 • 1 = 24 (сп.) – скласти чотирицифрове число без повторення цифр.
1) починається цифрою 1.
3 • 2 • 1 = 6 (сп.)
2) парних.
3 • 2 • 1 = 6 (сп.)
3) починається з 51.
2 • 1 = 2 (сп.)
4) не починається цифрою 7.
3 • 3 • 2 • 1 = 18 (сп.)
Відповідь: 1) 6; 2) 6; 3) 2; 4) 18.
67. У новому шестиповерховому офісному центрі потрібно розмістити шість фірм. Кожна фірма займає цілий поверх. Скількома способами можна розмістити офіси цих фірм?
Розмістити 6 офісів на 6–ти поверхах:
6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 (сп.)
Відповідь: 720.
68. Скількома способами шістьох гравців волейбольної команди можна розставити на ігровому майданчику?
Скількома способами можна розставити гравців, якщо капітан став на подачу м’яча?
1) Розставити 6 гравців на ігровому майданчику:
6 • 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 720 (сп.)
2) Розставити 6 гравців, якщо капітан став на подачу м'яча:
5 • 4 • 3 • 2 = 120 (сп.)
Відповідь: 1) 720; 2) 120.
69. Визначте, якими є події: випадковими, неможливими
чи достовірними: 1) у результаті підкидання грального кубика випаде кількість очок, більша за 6; 2) завтра буде сніг; 3) з коробки, у якій є 10 білих і чорних кульок, вийняли білу кульку; 4) мій найкращий друг народився 31 квітня; 5) серед натуральних чисел нарахували дев’ять одноцифрових чисел.
1) неможлива; 2) випадкова; 3) випадкова;
4) неможлива; 5) достовірна.
70. Аня, Микола й Тетяна розв’язують рівняння на дошці. Яка ймовірність того, що Микола відповідатиме останнім?
Аня, Микола й Тетяна
n = 3 • 2 • 1 = 6 (сп.)
А – «Микола відповідатиме останнім»
m = 2 • 1 = 2 (сп.)
Р(А) = mn; Р(А) = 26 = 13.
Відповідь: 13.