Вправи: 675 (1)

675. Для кожного значення a розв’яжіть рівняння:

1) х² + (За + 1)x + 2a² + a = 0. Дане рівняння є квадратним. Знайдемо дискримінант.

D = (3а + 1)² – 4 • (2а + а) = 9а2 + 6а + 1 – 8а2 – 4а = а² + 2а + 1 = (а + 1)²;

D = |a + 1|; х₁ = -3a+1+|a+1|2; х₂ = -3a+1-|a+1|2.

Якщо а + 1 ≥ 0, а ≥ –1, то х₁ = -3a-2+ a+22 = –а;

x₂ = -3a-1+ a-12 = –2a – 1;

якщо а + 1 < 0, а < –1, то х₃ = -3a-1- a+12 = –2а – 1;

х₄ = -3a-1+ a-12 = –а.

Відповідь: –2а – 1; –а.

2) х² – (2а + 4)х + 8а = 0. Дане рівняння є квадратним. Знайдемо дискримінант.

D = (–(2а + 4))² – 4 • 1 • 8а = 4а² + 16а + 16 – 32а = 4а² – 16а + 16 = (2а – 4)²;

D = |2x – 4|; x₁ = 2a+4+|2a-4|2; x₁ = 2a+4-|2a-4|2.

Якщо 2а – 4 ≥ 0, а ≥ 2, то х₁ = 2a+4+2a-42 = 2а;

x₁ = 2a+4-2a-42 = 4; якщо 2а – 4 < 0, а < 2, то

х₃ = 2a+4-2a+42 = 4; х₄ = 2a+4+2a+42 = 2а.

Відповідь: 2а і 4.

3) а²х² – 24ах – 25 = 0; при а = 0 рівняння не є квадратним; при а ≠ 0 рівняння є квадратним. Знайдемо дискримінант.

D = (–24а)² – 4 • а² • (–25) = 576а² + 100а² = 676а²;

D = |26а|;

x₁ = 24a-26|a|2a2; x₂ = 24a+26|a|2a2;

x₁ = -2a2a2 = –1a; x₂ = 50a2a2 = 25a.

Відповідь: якщо а = 0, то коренів немає; якщо а ≠ 0, то x = –1a або x = 25a.

4) 3(2а – 1)х² – 2(а + 1)х + 1 = 0; D4 = (а + 1)² – 3(2а – 1) • 1 = а² + 2а + 1 – 6а + 3 = а² – 4а + 4 = (а – 2)²;

х = a+1± |a-2|3(2a-1).

Якщо а = 2, то х = a+16a-3 = 39 = 13;

якщо а ≠ 2, то х₁ = a+1+ a-23(2a-1) = 2a-13(2a-1) = 13, а ≠ 12;

x₂ = a+1- a+23(2a-1) = 33(2a-1) = 12a-1;

якщо a = 12, тo 3 • (2 • 12 – 1) • х² – 2(12 + 1) • х + 1 = 0;

–2 • 32х = –1; Зх = 1; х = 13.

Відповідь: якщо а = 12, то х = 13; якщо а = 2, то х = 13;

якщо а ≠ 12, а ≠ 2, то х = 13 або х = 12a-1.