Вправи: 665

665. Скільки сторін має многокутник, якщо в ньому можна провести 90 діагоналей?

Нехай у многокутника х сторін, тоді з кожної вершини можна провести (х – 2) діагоналі. Всього у многокутнику можна провести x(x-3)2, а за умовою задачі 90 діагоналей. Маємо рівняння: x(x-3)2 = 90.

х(х – 3) = 180; х² – 3х – 180 = 0;

D = (–3)² + 4 • 180 = 9 +

+ 720 = 729; D = 27; х₁ = 3+272 = 15; x₂ = 3-272 = –12.

–12 — не задовольняє умову задачі.

Відповідь: 15 сторін.