Вправи: 440

440. Петро та Зоряна щодня записують по одному числу. Першого дня кожен з них записав число 1. Кожного наступного дня Петро записує число 1, а Зоряна — число, яке дорівнює сумі чисел, записаних ними за попередні дні. Чи може якогось дня Зоряна написати число, запис якого закінчуватиметься на 101?

Наведемо таблицю записаних чисел для Петра і Зоряни.

Петро	1	1	1	1	1	…
Зоряна	1	2	5	11	23	…

Починаючи з третього числа, числа, що записує Зоряна, можна записати у вигляді:

5 = 2 • 2 + 1; 11 = 5 • 2 + 1; ...; n = 2k + 1, де n, k — непарні числа.

Нехай 2k + 1 = 101; 2k = 100; k = 50, парне.

Отримали суперечність.

Відповідь: не можна.