Вправи: 342

342. Три дитини написали по 100 різних слів. Після цього однакові слова викреслили. У результаті в першої дитини залишилося 45 слів, у другої — 68, а в третьої — 78. Доведіть, що щонайменше одне слово записали всі троє.

Покажемо розв’язання задачі за допомогою діаграм Ейлера.

Нехай х, у і z спільних слів було в учнів.

Складаємо систему рівнянь.

45 + х + у = 100, х + у = 55,

68 + у + z = 100, у + z = 32,

78 + x + z = 100; x + z = 22.

Додаємо всі рівняння системи:

2х + 2у + 2z = 109; 2(х + у + z) = 109.

Із лівого боку одержали парне число, а з правого — непарне, тому така система рівнянь розв’язків у цілих числах не має. Отже, необхідно, щоб принаймні одне слово записали всі три учні, щоб у системі рівнянь його додати в кожному рівнянні і при додаванні рівнянь системи ми одержали непарний доданок.

Завдання № 3 «Перевірте себе» в тестовій формі

1. Розв’яжіть рівняння

x2- 100x-10 = 0; x² – 100 = 0, (x – 10)(x + 10) = 0,

x – 10 ≠ 0; x ≠ 10;

x – 10 = 0, x + 10 = 0, x₁ = 10, x₂ = –10,

x ≠ 10; x ≠ 10;

Відповідь: –10, В.

2. Розв’яжіть рівняння

х-10х2- 100 = 0;

х – 10 = 0, х = 10,

х² – 100 ≠ 0; х ≠ 10, х ≠ –10.

Відповідь: коренів немає, Г.

3. Яка з наведених рівностей є правильною?

В) (–2)^–3 = 1(-2)3 = –18 (правильна відповідь).

4. Як записують у стандартному вигляді число 42 000?

Б.

5. Як записують у вигляді десяткового дробу число 6,3 • 10⁻³?

В.

6. Подайте число 125 у вигляді степеня з основою 5.

А.

7. Знайдіть значення виразу

Б. 9-2 • 3-581 • 27-3 = (32)-2 • 3-534 • (33)-3= 3-4 • 3-534 • 3-9 = 3-934 • 3-9 = 134 = 181.

8. Яка з даних функцій не є оберненою пропорційністю?

Г.

9. На одному з рисунків зображено графік функції y = –4х. Укажіть цей рисунок.

А.

10. При якому значенні k графік функції y = kx проходить через точку A (–3; 0,6)?

А. y = kx; 0,6 = k-3; k = 0,6 • (–3) = –1,8.

11. Розв’яжіть рівняння

2x-1x+4 – 3x+14-x = 4x2+ 8x2- 16; 2x- 1\x-4x+4 – 3x+ 1\x+44-x – 4x2+ 8\1x-4(x+4) = 0;

x-42x-1+ x+43x+1- (4x2+ 8)x-4(x+4) = 0;

2x2- x-8x+4+3x2+ x+12x+4-4x2- 8x-4(x+4) = 0; x2+ 4xx-4(x+4) = 0;

x² + 4x = 0, x(x + 4) = 0, x(x + 4) = 0,

(x – 4)(x + 4) ≠ 0; x – 4 ≠ 0, x + 4 ≠ 0; x ≠ 4, x ≠ –4.

x = 0, x = –4,

x ≠ 4, x ≠ –4.

Відповідь: 0, Г.

12. Установіть відповідність між виразом (1–3) та тотожно рівним йому виразом (А–Д).

1) (с2)-2 = с-4 = 1c4. – (Д);

2) с2 : с-2 = с2-(-2) = с4. – (Б);

3) с2 • с-4 = с2+(-4) = с-2 = 1с2. – (Г).