Вправи: 457

457. Доведіть, що сума, різниця, добуток і частка двох раціональних чисел є раціональними числами.

Нехай одне з раціональних чисел mn, а друге — ab де n і q — натуральні; m, р — цілі.

1) mn + pq = mq-pnnq, добуток натуральних чисел — натуральне число, добуток натурального і цілого чисел — ціле число, сума цілих чисел — ціле число, отже nq ∈ N; (mq + рn) ∈ Z. Сума раціональних чисел — раціональне число.

2 ) Аналогічно, mn – pq = mq- pnnq, nq ∈ N, (mq – рn) ∈ Z. Отже різниця

раціональних чисел — раціональне число.

3) mn • pq = mpnq, оскільки добуток натуральних чисел — натуральне число, а добуток раціональних чисел — раціональне число, то mpnq — раціональне число.

4) mn : pq = m• pn• q = mpnq, оскільки mр — раціональне, а nq — натуральне, то частка — раціональне число.