Вправи: 908

908. Доведіть, що з будь–яких ста натуральних чисел можна вибрати

кілька (можливо, й одне), сума яких ділитиметься на 100.

1) Нехай x₁, ..., x₁₀₀ — дані числа. Розглянемо суми S₁ = x₁;

S₂ = x₁ + x₂;...; S₁₀₀ = x₁ + x₂ + ... + x₁₀₀. Якщо хоча б одна із сум ділиться на 100, то задача розв’язана.

2) Нехай жодна із сум не ділиться на 100. При цьому остачі від ділення будуть числа 1; 2; 3; ...; 99. За принципом Діріхле, як мінімум дві деякі суми будуть мати одну й ту саму остачу при діленні на 100.

3) Нехай це будуть суми S_k і S_l, де k > l.

Тоді S_k – S_l = х_l+1 + x_l+2 + ... + х_k — ділиться на 100.

Отже, x_l+1 + x_l+2 + ... + х_k — шукана сума.

Домашня самостійна робота №5

1. Укажіть рівняння, що є квадратним.

2x² – 3х + 7 = 0.

Відповідь: Б.

2. Якщо дискримінант квадратного рівняння дорівнює 15, то квад– ратне рівняння... A. не має коренів; Б. має один корінь; B. має два різних корені; Г. має безліч коренів.

Має два різних корені.

Відповідь: В.

3. Нехай x₁ і x₂ – корені рівняння x² + х – 5 = 0, тоді

x₁ + x₂ = –1; x₁x₂ = –5.

Відповідь: Г.

4. Укажіть корені рівняння 5x² – 4x = 0.

5х² – 4х = 0; х(5х – 4) = 0; x₁ = 0 або 5х – 4 = 0; х₂ = 0,8.

Відповідь: Б.

5. Розв’яжіть рівнянню 3x² – 10x + 3 = 0.

3x² – 10x + 3 = 0.

D = (–10)²– 4 • 3 • 3 = 64; D = 8;

x₁ = 10+82 • 3 = 186 = 3;

x₂ = 10-86 = 13.

Відповідь: A.

6. Площа прямокутника дорівнює 168 см², а одна з його сторін

на 2 см менша від другої. Знайдіть меншу сторону прямокутника.

За умовою х(х + 2) = 168. Маємо х² + 2х – 168 = 0.

D = 2² – 4 • 1 • (–168) = 676; D = 26;

x₁ = -2+262 = 242 = 12 (см);

x₂ = -2-262 < 0 – не підходить.

Відповідь: В.

7. При якому значенні а число 2 буде коренем рівняння

ах² + 4х – 20 = 0?

ах² + 4х – 20 = 0; х = 2; а • 2² + 4 • 2 – 20 = 0; 4а = 12; а = 3.

Відповідь: Б.

8. Розв’яжіть рівняння

(х + 2)² = 4х + 5; х² + 4х + 4 = 4х + 5; х² = 1; х = 1; х = –1.

Відповідь: А) –1; 1.

9. Дано три послідовних натуральних числа. Потроєний квадрат

меншого з них на 50 більший за суму квадратів двох інших.

Знайдіть менше із даних чисел.

I — х, х ∈ N;

II — х + 1;

III — х + 2.

За умовою Зх² = (х + 1)² + (х + 2)² + 50.

Маємо Зх² – х² – 2х – 1 – х² – 4х – 4 – 50 = 0; х² – 6х – 55 = 0.

D = (–6)² – 4 • 1 • (–55) = 256; D = 16; D = 16;

x₁ = 6+162 = 11; x₂ = 6-162 < 0 – не належить множині N.

Відповідь: Б.

10. Розв’яжіть рівняння

(х – 3)(2х² + 3х – 5) = 0.

ОДЗ: х ≥ 0.

х – 3 = 0 або 2х² + 3х – 5 = 0;

х = 3; D = 3² – 4 • 2 • (–5) = 49; D = 7;

x₁ = 9. x₁ = -3+72 • 2 = 44 = 1;

x₂ = -3+72 • 2 < 0 – не входить в ОДЗ.

Відповідь: Г.

11. x₁ і x₂ – корені рівняння 2х² – Зх – 7 = 0. Не розв’язуючи

рівняння, знайдіть значення виразу х12 + х22.

За теоремою Вієта х₁ + х₂ = –-35 = 1,5; х₁х₂ = –72 = –3,5.

Маємо х12 + х22 = (х₁ + х₂)² – 2х₁х₂ = 1,5² – 2 • (–3,5) = 9,25.

Відповідь: А.

12. Під час ділової зустрічі було здійснено 36 потисків руки,

причому всі учасники потисли руку одне одному. Скільки осіб

взяло участь у діловій зустрічі?

1) Нехай у зустрічі брали участь х осіб. Тоді всіх потисків було x(x-1)2.

За умовою x(x-1)2 = 36.

2) Маємо х² – х = 72; х² – х – 72 = 0;

D = (–1)² – 4 • 1 • (–72) = 289;

D = 17; x₁ = 1+172 = 9; x₂ = 1-172 < – не задовольняє умову задачі.

Відповідь: Б.

Завдання для перевірки знань §20–23

1. Які з рівнянь є квадратними:

1) х² – 4х + 7 = 0; 3) х² – 15 = 0;

Рівняння 1), 3).

2. Скільки різних коренів має квадратне рівняння, якщо його

дискримінант дорівнює:

1) Два; 2) один; 3) жодного; 4) два.

3. Знайдіть суму і добуток коренів рівняння х² + 2х – 17 = 0;

х₁ + х₂ = –2; x₁x₂ = –17.

4. Розв’яжіть неповне квадратне рівняння:

1) 2x2 – 18 = 0;2x2 = 18;x2 = 9;x1 = 3; x2 = –3.

2) 3x2 – 4x = 0;x(3x – 4) = 0;x1 = 0 або 3x – 4 = 0; 3x = 4; x = 113.

5. Розв’яжіть рівняння:

1) 2x² – 5x + 2 = 0.

D = (–5)² – 4 • 2 • 2 = 9; D = 3;

x₁ = 5+32 • 2 = 84 = 2; x₂ = 5-34 = 24 = 12.

2) x² – 6x + 9 = 0.

D = (–6)² – 4 • 1 • 9 = 0.

х = 62 = 3.

6. Одна зі сторін прямокутника на 4 см більша за другу, а площа

прямокутника дорівнює 192 см². Знайдіть його периметр.

1) За умовою x(x + 4) = 192; x² + 4x – 192 = 0.

D = 4² – 4 • (–192) = 784. D = 28;

x₁ = -4+282 = 12 (см) – АВ; AD = 16 (см);

x₂ = -4-282 < 0 – не задовольняє умов задачі.

2) Периметр Р = 2(АВ + AD) = 2(12 + 16) = 56 (см).

Відповідь: 56 см.

7. Розв’яжіть рівняння:

1) (x + 1)² + 4x – 5; x² + 2x + 1 – 4x + 5 = 0; x² – 2x + 6 = 0.

D = (–2)² – 4 • 1 • 6 < 0. Рівняння немає розв'язків.

2) 12x² – x – 3 = 0; x² – 2x – 6 = 0.

D = (–2)² – 4 • 1 • 6 = 28; D = 28 = 27.

x_1,2 = 2±272 = 2(1± 7)2 = 1 ± 7.

8. Знайдіть три послідовних натуральних числа, якщо квадрат

більшого з них на 140 менший від суми квадратів двох інших.

І – х, х ∈ N;

II – x + 1;

III – x + 2.

За умовою (x + 2)² + 140 = x² + (x + 1)².

Маємо x² + 4x + 4 + 140 = x² + x² + 2x + 1;

x² + 2x + 1 – 4x – 144 = 0; x² – 2x – 143 = 0.

D = (–2)² – 4 • 1 • (–143) = 576; D = 24;

x₁ = 2+242 = 13; x₂ = 2-242 < 0 – не належить множині N.

Отже, шукані числа 13; 14; 15.

Відповідь: 13; 14; 15.

9. Розв’яжіть рівняння

(х – 2)(x² + 3х – 4) = 0. ОДЗ: x ≥ 0.

х – 2 = 0 або x² + 3х – 4 = 0;

х = 2; D = 3² – 4 • 1 • (–4) = 25; D = 5;

x₁ = 4 x₂ = -3+52 = 1;

x₃ = -3-52 < не входить в ОДЗ.

Відповідь: 1; 4.

10. Числа x₁ і x₂ є коренями рівняння x² – 5х – 3 = 0. Не розв’язуючи рівняння, знайдіть значення виразу:

x² – 5x – 3 = 0. За теоремою Вієта x₁ + x₂ = 5; x₁x₂ = –3.

1) 1x1 + 1x2 = x1+x2 x1x2 = 5-3 = –123;

2) х12 + х22 = (х₁ + х₂)² – 2х₁х₂ = 5² – 2 • (–3) = 25 + 6 = 31.

11. На першості школи з баскетболу було зіграно 28 матчів, причому кожна команда зіграла з кожною по одному матчу. Скільки команд брало участь у першості школи з баскетболу?

1) Нехай у першості брало участь x команд. Тоді було зіграно x(x-1)2матчів.

2) за умовою x(x-1)2 = 28. Маємо x² – x – 56 = 0;

D = (–1)² – 4 • 1 • (–56) = 225; D = 15;

x₁ = 1+152 = 8; x₂ = 1-152 < 0 – не задовольняє умову задачі. Відповідь: 8 команд.