Вправи: 851

851. (XV Всеукраїнська олімпіада, 1975 р.) При яких натуральних

значеннях n число 2ⁿ + 65 є квадратом цілого числа?

Розглянемо степені числа 2.

n	1	2	3	4	5	6	7	…
2n	2	4	8	16	32	64	128	…

останньою цифрою числа 2ⁿ є 2, 4, 8 або 6.

1) Нехай n – парне число. Тоді останньою цифрою числа 2ⁿ є 2 або 8, а останньою цифрою числа 2ⁿ + 65 – 7 або 3. Квадрат цілого числа не може мати останньої цифрою 7 або 3.

2) Нехай n = 2k (k – натуральне), тобто є парним числом. Тоді

2^2k + 65 = а². Тоді а = 2^k + y. Маємо 2^2k + 65 = (2^k + y)²; 2^2k + 65 = 2^2k + 2y • 2^k + y²; 2y • 2^k + y² = 65. Звідси k ≤ 5.

3) Розглянемо по черзі.

k = 1; 2^2•1 + 65 = 69;

k = 2; 2^2•2 + 65 = 81 = 9²; тоді n = 4;

k = 3; 2^2•3 + 65 = 129;

k = 4; 2^2•4 + 65 = 321;

k = 5; 2^2•5 + 65 = 1089 = 33²; тоді n = 10.

Відповідь: n = 4; n = 10.