Вправи: 223

223. Доведіть, що значення виразу є додатним при всіх допустимих значеннях змінної.

(m2- 3mm3+ 3m2+ 3m+1 + 1m2+ 2m+1)(3-mm2- 2m+1 – 21- m).

1. m³ + 3m² + 3m + 1 = (m³ + 1) + (3m² + 3m) = (m + 1)(m² – m + 1) + 3m(m + 1) = (m + 1)(m² – m + 1 + 3m) = (m + 1)(m² + 2m + 1) = (m + 1)(m + 1)² = (m + 1)³.

2. m2-3mm3+ 3m3+ 3m+1 + 1m2+ 2m+1 = m2- 3m(m+1)3 + 1(m+1)2 = m2- 3m+m+1(m+1)3 = m2- 2m+1(m+1)3= (m-1)2(m+1)3.

3. 3-mm2- 2m+1 – 21-m = 3-m(1-m)2 – 21-m = 3-m-2(1-m)(1-m)2 = 3-m-2+2m(m-1)2.

4. (m-1)2(m+1)3 • m+1(m-1)1 = 1(m+1)2.

Оскільки (m + 1)² > 0 для всіх допустимих значень m, то 1(m+1)2 > 0. Тобто значення виразу є додатнім для всіх значень змінної, що й треба було довести.