Вправи: 1139

1139. Через перший кран можна наповнити резервуар водою 2 на 24 хв швидше, ніж через другий. Якщо спочатку 23 резервуара заповнять через перший кран, а потім частину, що залишилася, – через другий, то витрачений на це час буде на 33 хв більшим, ніж час наповнення резервуара одночасно через обидва крани. За який час можна наповнити резервуар через кожний кран окремо?

Нехай перший кран заповнює резервуар за х хв., тоді другий —

за (х + 24) хв. Тоді за одну хвилину перший заповнює 1x частину резервуару, а другий 1x+24 частину. Працюючи разом, вони за хвилину заповнять 1x + 1x+24 = 2x+24x(x+24) частину резервуара, витративши на це 1: 2x+24x(x+24)= x(x+24)2x+24 (хв). 23 резервуара перший кран заповнить за 23х хв, а 13 резервуара, що залишиться, другий – за 13 (х + 24) хв.

За умовою задачі 23х + 13(х + 24) – 33 = x(x+24)2x+24;

23х + 13х + 8 – 33 = x2+ 24x2x+24; х – 25 = x2+ 24x2x+24;

2x² – 50х + 24х – 600 = x² + 24х;

x² – 50х – 600 = 0;

x₁ = 60 (хв); x₂ = –10 — не має змісту.

І кран — за 60 хв., II кран — за 84 хв.

Відповідь: 60 хв; 84 хв.

ВПРАВИ НА ПОВТОРЕННЯ КУРСУ АЛГЕБРИ 7 КЛАСУ

1. Подайте у вигляді степеня вираз:

1) а³ • а⁵ = а⁸; 2) х⁵ : х³ = х²; 3) (р³)⁷ = р²¹;

4) (–а²)³ = –а⁶; 5) (t³)² : t⁵ = t; 6) (а⁷)³ • (а³)⁶ = а³⁶.

2. Подайте у вигляді многочлена:

1) 4m²(m – 3) = 4m³ – 12m²;

2) –0,4ab(5a + 10ab) = –2a²b – 4a²b²;

3) 7a(a² – 2a + 3) = 7a³ – 14a² + 21a;

4) (a + 5)(a – 7) = a² – 7a + 5a – 35 = a² – 2a – 35;

5) (3x – 1)(2x + 7) = 6x² + 21x – 2x – 7 = 6x² + 19x – 7;

6) (a – 1)(a² – 2a – 1) = a³ – 2a² – a – a² + 2a + 1 = a³ – 3a² + a + 1.

3. Спростіть вираз:

1) (4x² – 3x – 7) – (2x² – 3x + 1) = 4x² – 3x – 7 – 2x² + 3x – 1 = 2x² – 8;

2) 2x(3x – 7) – 3x(2x +1) = 6x² – 14x – 6x² – 3x = –17x;

3) (a – 2b)² + (a + 2b)² = a² – 4ab + 4b² + a² + 4ab + 4b² = 2a² + 8b²;

4) (7x – 4m)(7x + 4m) – (7x – 4m)² = 49x² – 16m² – 49x² – 56mx – 16m² = 56mx – 32m²;

5) (x – 1)(x² + x + 1) + (x – 1)(x² – 1) = x³ – 1 + x³ – x – x² + 1 = 2x³ – x² – x;

6) (x + 2)(x² – 2x + 4) – (x – 1)(x² + 2) = x³ + 8 – x³ – 2x + x² + 2 = x² – 2x + 10.

4. Подайте многочлен у вигляді добутку:

1) 4a – 8 = 4(a – 2); 2) 3m² – 9m = 3m(m – 3);

3) 12a²b + 16ab³ = 4ab(3a + 4b²); 4) 4x² – 25 = (2x – 5)(2x + 5);

5) 9m⁴ – 36p⁸ = (3m² – 6p⁴)(3m² + 6p⁴);

6) p² – 10p + 25 = (p – 5)²; 7) x⁴ + 8x² + 16 = (x² + 4)²;

8) c³ + 27 = (c + ³)(c² – 3c + 9);

9) p⁶ – 1000 = (p² – 10)(p⁴ + 10p² + 100);

10) ax – ay + 2x – 2y = a(x – y) + 2(x – y) = (a + 2)(x – y).

5. Розв’яжіть рівняння:

1) –4x = –16; x = 4; 2) 2,5x = –20; x = –20 : 2,5; x = –8;

3) 2x + (x – 3) = 12; 3x = 12 + 3; 3x = 15; x = 5;

4) (4x – 2) – (7x – 3) = 9; 4x – 2 – 7x + 3 = 9;

4x – 7x = 9 + 2 – 3; –3x = 8;

x = –83;

5) x+13 – x2 = x-26 | • 6;

2(x + 1) – 3x = x – 2; 2x + 2 – 3x = x – 2; –2x = –4; x = 2;

6) 4(x – 1) + 3(x + 2) = 7(x + 3); 4x – 4 + 3x + 6 = 7x + 21;

0x = 19, розв'язків немає;

7) 2(x + 1) + 3(x – 3) = 5x – 7; 2x + 2 + 3x – 9 = 5x – 7; 0 = 0;

x — будь-яке число;

8) (2x + 1)(x – 1) – (x + 1)(2x – 1) = 24;

2x² – 2x + x – 1 – 2x² + x – 2x + 1 = 24;

–2x = 24; x = 12.

6. Розв’яжіть систему рівнянь графічно:

1) x + y = 5, y = 5 – x;

x – y = 3; y = x – 3.

Відповідь: (4; 1).

2) 2x + y = 0, y = –2x;

3y – x = 7; y = 7+x3.

Відповідь: (–1; 2)

7. Розв’яжіть систему рівнянь способом підстановки:

1) x + 2y = –5; x = –5 – 2y; x = –5 – 2y;

3x – 2y = 9; 3(–5 – 2y) – 2y = 9; –15 – 6y – 2y = 9;

x = –5 – 2y; y = –3; y = –3;

–8y = 24; x = –5 – 2 • (–3); x = 1.

Відповідь: (1; –3).

2) 4x + 3y = 8 y = 5x + 9; y = 5x + 9;

5x – y = –9; 4x + 3(5x + 9) = 8; 4x + 15x + 27 = 8;

y = 5x + 9; x = –1; x = –1.

19x = –19; y = –5 + 9; y = 4.

Відповідь: (–1; 4).

8. Розв’яжіть систему рівнянь способом додавання:

1) 2x + y = 5; 4x = 8; x = 2; x = 3.

2x – y = 3; y = 2x – 3; y = 2 • 2 – 3; y = 1.

Відповідь: (2; 1).

2) 3x + 2y = 0; –3x – 2y = 0; 2x = 4;

5x + 2y = 4; 5x + 2y = 4; y = 4-5x2;

x = 2; x = 2.

y = 4-5 • 22; y = –3.

Відповідь: (2; –3).

3) 4x + 3y = 3, | • 2; 8x – 6y = 6; 13x = 13;

5x – 6y = 7, | • 2; 5x – 6y = 7; y = 5x-76;

x = 1; x = 1.

y = 5-76; y = –13.

Відповідь: (1; –13).

4) 5x + 7y = –19 | • 3, 15x + 21y = –57;

2x – 6y = 7 | • 7; 14x – 21y = 28;

29x = –29; x = –1; x = –1.

y = 2x-43; y = -2-43; y = –2.

Відповідь: (–1; –2).

9. Знайдіть значення функції, заданої формулою у = , для значень аргументу, що дорівнюють –30; –4; 2; –60.

у = = –2

у = = –15

у = = 30

у = = –1

10. Знайдіть значення аргументу, при якому функція у = 2х – 3 набуває значень –5; 7; 13.

у = 2 • (–5) – 3 = –10 – 3 = –13

у = 2 • 7 – 3 = 14 – 3 = 11

у = 2 • 13 – 3 = 26 – 3 = 23

11. Не виконуючи побудови, знайдіть нулі функції:

1) у = –2х + 6

0 = –2х + 6

2х = 6

х = 6 : 2

х = 3

2) у =

0 =

0 = х – 1

х = 1

12. Побудуйте графік функції:

1) у = х – 2;	2) y= –2x + 3;
3) у = 0,5х + 2;	4) у = –2;
5) у = 3х;	6) у = –2х;

13. Побудуйте графік функції у = 2,5х + 5. За допомогою графіка знайдіть:

1) значення функції, якщо значення аргументу дорівнює –4 ; 0;

х = –4, у = –5; х = 0, у = 5

2) значення аргументу, якщо значення функції дорівнює 5; 10;

у = 5, х = 0; у = 10, х =2

3) нулі функції;

у = 0, х = 5, –2

4) значення аргументу, при яких функція набуває додатних значень; від’ємних значень.

у > 0, (–2, +); y < 0 , (–2; –)

14. За 3 години мотоцикліст проїжджає ту саму відстань, що й велосипедист за 5 годин. Швидкість мотоцикліста на 12 км/год більша за швидкість велосипедиста. Знайдіть швидкість кожного з них.

	Час	Відстань	Швидкість
МотоциклістВелосипедист	3 год5 год	однакова	?, на 12 км/год >?

1) Нехай х – швидкість велосипедиста, тоді х + 12

5х = 3 • (х + 12)

5х = 3х + 36

5х – 3х = 36

2х = 36

х = 18 (км/год) – швидкість велосипедиста;

2) 18 + 12 = 30 (км/год) – швидкість мотоцикліста.

Відповідь: швидкість велосипедиста 18 км/год, мотоцикліста – 30 км/год.