Вправи: 1015

1015. Побудуйте графік функції

у = x2+ 2xx – 2. ОДЗ: х ≠ 0.

1) Якщо x > 0, то |x| = x.

Маємо x2+ 2xx – 2 = x(x+2)x – 2 = х + 2 – 2 = х.

2) Якщо x < 0, то |x| = –x.

Маємо x2+ 2x-x – 2 = x(x+2)-x – 2 = –(х + 2) – 2 = –х – 2 – 2 = –x – 4.

Отже, у = х, якщо х > 0,

–х – 4, якщо х < 0.

y₁ = x; x > 0.

x	1	3
y	1	3

y₂ = –x – 4; x < 0.

x	–1	–4
y	–3	0

Домашня самостійна робота №6

1. Укажіть вираз, який є квадратним тричленом.

2х² + х – 3 = 0;

Відповідь: Б.

2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена

2х² – 3х – 7 = 0;

D = (–3)² – 4 • 2 • (–3) = 65.

Відповідь: Г.

3. Укажіть біквадратне рівняння.

4х⁴ + х² – 3 = 0;

Відповідь: Б.

4. Розкладіть на лінійні множники квадратний тричлен

–2x² + Зх + 5.

–2x² + Зх + 5 = 0; 2х² – 3x– 5 = 0; D = (–3)² – 4 • 2 • (–5) = 49;

x₁ = 3+74 = 2,5; x₂ = 3-74 = 1.

–2x² + Зх + 5 = –2(x – 2,5)(x + 1).

Відповідь: А.

5. Pозв’яжіть рівняння

x2x-7= 49x-7.

x² = 49,

x ≠ 7; x = –7.

Відповідь: В.

6. Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники.

x³ + 2x² – 3x = 0; х(х² + 2х – 3) = 0;

x₁ = 0 або x² + 2х – 3 = 0;

D = 2² – 4 • (–3) = 16;

x₂ = -2+42 = 1; x₃ = -2-42 = –3.

Відповідь: Г.

7. Cкоротіть дріб

x2- 5x+5x2- 9.

x² – 5x + 6 = 0; D = (–5)² – 4 • 6 = 1; x₁ = 5+12 = 3; x₂ = 5-12 = 2.

x2- 5x+6x2- 9 = x-3(x-2)x-3(x+3) = x-2x+3.

Відповідь: Б.

8. При яких значеннях х сума дробів дорівнює їх добутку?

ОДЗ: х ≠ –1; х ≠ 3.

18 – 9x + x² + x = 6x; x² – 11x + 18 = 0; D = (–11)² – 4 • 18 = 49;

x₁ = 11+72 = 9; x₂ = 11-72 = 2.

Відповідь: В.

9. З міста A в місто B, відстань між якими 360 км, одночасно

виїхали два автомобілі. Швидкість одного з них була на 10 км/год більшою за швидкість іншого, і тому він прибув до пункту призначення на 30 хв раніше. Знайдіть швидкість автомобіля,

що рухався повільніше.

Автомобіль	s, км	U, км/год	t, год
І	360	x + 10	360x+10	на 12 год менше
ІІ	360	x	360x

360x – 360x+10 = 12; 360x+3600-360xx(x+10) = 12;

x² + 10x – 7200 = 0; D = 10² – 4 • (–7200) = 28900;

x₁ = -10+1702 = 80 (км/год);

x₂ = -10-1702 < 0 – не задовольняє умову задачі.

Відповідь: Б) 80 км/год.

10. Розкладіть на множники многочлен

–14x⁴ – x³ + 3x² = –14x²(x² + 4x – 12).

x² + 4x – 12 = 0; D = 4² – 4 • (–12) = 64; x₁ = -4+82 = 2;

x₂ = -4-82 = –6.

Отже, –14x²(x² + 4x – 12) = –14x²(x – 2)(x + 6).

Відповідь: А.

11. Розв’яжіть рівняння

x³ + Зх² – 6х – 8 = 0; (x³ – 8) + (3x² – 6x) = 0:

(х – 2)(x² + 2х + 4) + 3x(x – 2) = 0; (х – 2)(x² + 2х + 4 + Зх) = 0;

(х – 2)(x² + 5х + 4) = 0;

х – 2 = 0 або х² + 5х + 4 = 0;

x₁ = 2. D= 5² – 4 • 4 = 9;

x₂ = -5+32 = –1;

x₃ = -5-32 = –4.

Відповідь: Б.

12. Відстань від пристані A до пристані B проти течії річки човен долає за 3 год. Одного разу, не дійшовши 24 км до пристані

B, човен повернув назад і прибув до пристані A через 3 год 18 хв.

Знайдіть власну швидкість човна, якщо швидкість течії дорівнювала 2 км/год.

Нехай х км/год — власна швидкість човна. Тоді його швидкість проти

течії (х – 2) км/год, а відстань від А до В дорівнює 3(х – 2) км.

Човен проплив 3(x – 2) – 24 = Зх – 30 (км), та витратив проти течії

3x-30x-2 год.

За течією швидкість човна (х + 2) км/год i він витратив 3x-30x-2 год.

За умовою 3(x-10)x-2 + 3(x-10)x+0 = 31860| :3; x -10x-2 + x-10x+2 = 1110;

x2+ 2x-10x-20+ x2- 2x-10x+20x-2(x+2) = 1110; 10(2x² – 20x) = 11(x² – 4);

20x² – 200x – 11x² + 44 = 0; 9x² – 200x + 44 = 0;

D = (–200)² – 4 • 9 • 44 = 38416; D = 196;

x₁ = 200+1962 • 9 = 22 (км/год);

х₂ = 200-19618 = 418 – не підходить, бо х > 2.

Відповідь: Б.

Завдання для перевірки знань §24–26

1. З даних виразів випишіть ті, що є квадратними тричленами

1) 2х² – 3х + 7; 4) –8 + 2х² – 3х — квадратні тричлени.

2. Знайдіть дискримінант квадратного тричлена та визначте

кількість його коренів:

1) х² + 3х – 7; D = З² – 4 • (–7) = 37; два корені;

2) х² + х + 9; D = 1² – 4 • 9 = –35; жодного кореня.

3. Чи є біквадратним рівняння:

1), 3) Ні; 2), 4) так.

4. Розкладіть на множники квадратний тричлен:

1) x₂ + 4x – 5.

х² + 4х – 5 = 0; D = 4² – 4 • (–5) = 36; х₁ = -4+62 = 1;

x₂ = -4-62 = –5.

х² + 4х – 5 = (х – 1)(х + 5).

2) –2x² + 5х – 2.

2x² – 5х + 2 = 0; D = (–5)² – 4 • 2 • 2 = 9;

х₁ = 5+34 = 2; х₂ = 5-34 = 12.

–2х² + 5х – 2 = –2(х – 2)(x – 12) = (х – 2)(1 – 2х).

5. Знайдіть корені рівняння:

1) x⁴ + Зх² – 4 = 0.

x² = t , де t ≥ 0, тоді x⁴ = t². Маємо t² + 3t – 4 = 0;

D = З² – 4 • (–4) = 25;

t₁ = -3+52 = 1; t₂ = -3-52 = –4 – не задовольняє умову задачі t ≥ 0.

x² = 1; x1 = 1; x₂ = –1.

2) x2x+4 = 16x+4.

x² = 16,

x ≠ –4; x = 4.

Відповідь: 1) –1; 1; 2) 4.

6. Розв’яжіть рівняння, розклавши його ліву частину на множники.

x³ – 5x² + 6x = 0; x(x² – 5x + 6) = 0; x₁ = 0 або x² – 5x + 6 = 0;

D = (–5)² – 4 • 6 = 1; x₂ = 5+12 = 3; x₃ = 5-12 = 2.

Відповідь: 0; 2; 3.

7. Скоротіть дріб:

1) x2+ 2x-8x2+ 4x.

x² + 2x – 8 = 0; D = 2² – 4 • (–8) = 36;

x₁ = -2+62 = 2; x₂ = -2-62 = –4.

x2+ 2x-8x2+ 4x = x-2(x+4)x(x+4) = x-2x.

2) x2- 42x2+ 7x-22.

2x² + 7x – 22 = 0; D = 7² – 4 • 2 •(–2) = 225;

x₁ = -7+154 = 2; x₂ = -7-154 = –5,5.

x2- 42x2+ 7x-22 = x-2(x+2)2x-2(x+5,5) = x+22x+11.

8. З одного міста в інше одночасно виїхали два велосипедисти.

Швидкість першого була на 3 км/год більшою, ніж швидкість

другого, тому до пункту призначення він прибув на 1 год раніше, ніж другий. Знайдіть швидкість кожного з велосипедистів, якщо відстань між містами 60 км.

Велосипедист	s, км	U, км/год	t, год
І	60	x + 3	60x+3	на 1 год менше
ІІ	60	x	60x

60x – 60x+3 = 1; 60x+180-60xx(x+3) = 1; x² + 3x – 180 = 0;

D = 3² – 4 • (–180) = 729;

x₁ = -3+272 = 242 = 12 (км/год) – ІІ; 12 + 3 = 15 (км/год) – І;

х₂ = -3-272 < 0 – не має змісту, оскільки швидкість не може набувати від’ємних значень.

Відповідь: 15 км/год; 12 км/год.

9. Розв’яжіть рівняння:

1) x + 3x – 10 = 0.

x = t, де t ≥ 0. Тоді х = (x)² = t².

Маємо t² + 3t – 10 = 0; D = 3² – 4 • (–10) = 49;

t₁ = -3+72 = 2; t₂ = -3-72 = –5 – не задовольняє умову t ≥ 0.

x = 2; х = 4.

2) (х – 3)⁴ – 7(x – 3)² – 8 = 0.

(х – З)² = t, де t ≥ 0. Тоді t² – 7t – 8 = 0; D = (–7)² – 4 • (–8) = 81;

t₁ = 7+92 = 8; t₂ = 7-92 = –1 – не задовольняє вимогу, що t ≥ 0.

(х – 3)² = 8; х – 3 = ± 22; х_1,2 = 3 ± 22.

Відповідь: 1) 4; 2) 3 ± 22.

10. Розкладіть на множники многочлен:

1) x³ – 4x² – 5х = x(x² – 4х – 5).

x² – 4х – 5 = 0; D = (–4)² – 4 • (–5) = 36;

x₁ = 4+62 = 5; x₂ = 4-62 = –1.

x(x² – 4x – 5) = х(х – 5)(х + 1).

2) –12x⁴ + Зх³ – 4x² = –12x²(x² – 6х + 8).

x² – 6x + 8 = 0; D = (–6)² – 4 • 8 = 4;

х₁ = 6+22 = 4; х₂ = 6-22 = 2.

–12x²(х² – 6х + 8) = –12 х²(х – 4)(x – 2).

11. Побудуйте графік функції

y = x3- x2- 2xx2- 2x.

ОДЗ: x ≠ 0; x ≠ 2.

x3- x2- 2xx2- 2x = x(x2- x- 2)x(x- 2) = x2- x- 2x- 2.

x² – x – 2 = 0; D = (–1)² – 4 • (–2) = 9;

x₁ = 1+32 = 2; x₂ = 1-32 = –1.

Отже, x2- x- 2x- 2 = x-2(x+1)x-2 = х + 1. Маємо у = х + 1, якщо x ≠ 0;

x ≠ 2. Графіком функції у = x3- x2- 2xx2- 2x є пряма у = х + 1 з «виколотими» точками (0; 1) і (2; 3).

х	–3	3
у	–2	4