Відповіді на вправи ЧАСТИНА 2: 51.56

51.56. Розв’яжіть задачу та прочитайте прізвище першого президента незалежної України. Промінь BK проходить між сторонами кута ABC. Знайдіть ∠ABK і ∠KBC, якщо ∠ABC = 120°. 1) ∠ABK на 20° менший від ∠KBC. 2) ∠ABK утричі більший за ∠КBC. 3) ∠ABK : ∠KBC = 3 : 5.

1) х + х + 20 = 120; 2х = 100; х = 50° – ∠ABK; 50° + 20° = 70° – ∠KBC.

2) х + 3х = 120; 4х = 120; х = 30° – ∠КBC; 30 ∙ 3 = 90° – ∠ABK.

3) 3х + 5х = 120; 8х = 120; х = 15°; 15° ∙ 3 = 45° – ∠ABK; 15° ∙ 5 = 75° – ∠KBC. КРАВЧУК.

Домашня самостійна робота №10 (§45 – §51)

1. Знайдіть радіус кола, діаметр якого дорівнює 8 см.

r = d2 = 82 = 4 (см).

Відповідь. Б) 4 см.

4. Радіус кола дорівнює 4 см. Як розміщені пряма а і коло, якщо відстань від центра кола до прямої дорівнює 3 см?

Відповідь. А) пряма перетинає коло у двох точках.

5. Точка O — центр кола, MN — його хорда. Знайдіть ∠MON, якщо

∠OMN = 70°.

Оскільки OM = ON (як радіуси), то ∆OMN – рівнобедрений. ∠MON = 180° – 2 ∙ 70° = 40°. Відповідь. Б) 40°.

6. Кола, радіуси яких 6 см і 2 см, мають внутрішній дотик. Знайдіть відстань між їх центрами.

O1O2 = r1 – r2 = 6 – 2 = 4 (см). Відповідь. Б) 4 см.

7. Точка O — центр кола, AB — його діаметр, BC — його хорда, ∠COA = 50°. Знайдіть ∠BCO.

1) ∠BOC = 180° – 50° = 130° (властивість суміжних кутів). 2) OB = OC (як радіуси), тому ∆OBC — рівнобедрений і ∠BCO = 180° - 130°2 = 50°2 = 25°.Відповідь. А) 25°.

8. Два кола мають зовнішній дотик, а відстань між їх центрами дорівнює 14 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо радіус одного з них на 4 см більший за радіус другого.

1) Нехай r2 = x (см), тоді r1 = x + 4 (см). 2) Оскільки O1O2 = r1 + r2, то маємо рівняння х + 4 + х = 14; 2х = 10; х = 5 (см). 3) Отже, r2 = 5 см; r1 = 5 + 4 = 9 (см). Відповідь. Б) 9 см і 5 см.

9. Геометричним місцем центрів кіл, що дотикаються до даної

прямої в точці А, є...

Відповідь. В) пряма без однієї точки (див. задачу № 740).

10. З точки М, що лежить поза колом, проведено до кола дві

дотичні MA і MB; де А і В — точки дотику, ∠MBA = 60°. Знайдіть відстань від точки M до центра кола, якщо радіус кола дорівнює 10 см.

1) В ∆АВМ: AM = MB (за властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки), тому ∆ABM — рівнобедрений і ∠AMB = 180° – 2 ∙ 60° = 60°. 2) OA⊥AM, OB⊥BM (за властивістю дотичної). 3) ∆OAM = ∆OBM (за двома катетами), тому

∠OMA = ∠OMB = ∠АМВ2 = 60°2 = 30°.

4) У прямокутному трикутнику OAM (∠A = 90°) за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо OA = ОМ2, тому

OM = 2 ∙ OA = 2 ∙ 10 = 20 (см).

Відповідь. В) 20 см.

11. Центр кола, описаного навколо трикутника, збігається із

серединою сторони в...

При доведенні теореми про кут, під яким видно діаметр з точки кола, було показано, що OA = OP = OB (див. cтop. 128). ∆APB — прямокутний, точка O — центр описаного кола. Отже, умові задачі відповідає прямокутний трикутник.

Відповідь. А) прямокутному трикутнику.

12. Три кола, радіуси яких 3 см, 4 см і 5 см, попарно дотикаються

зовні. Знайдіть периметр трикутника, вершинами якого є центри цих кіл.

Р∆О1О2О3 = О1О2 + О2О3 + О3О1 = r1 + r2 + r2 + r3 + r3 + r1 = 2(3 + 4 + 5) = 2 ∙ 12 = 24 (см). Відповідь. В) 24 см.

Завдання для перевірки знань до §45 – §51

1. Знайдіть діаметр кола, якщо його радіус дорівнює 26 мм.

d = 2r = 2 ∙ 26 = 52 (мм).

3. На якому з малюнків зображено коло, описане навколо трикутника, а на якому — вписане у трикутник?

На малюнку б) зображене коло, описане навколо трикутника, а на малюнку а) — коло, вписане у трикутник.

4. Накресліть коло, радіус якого дорівнює 4 см. Проведіть у ньому діаметр MN і хорду KL. Побудуйте за допомогою косинця дотичну до кола, що проходить через точку М.

Пряма а — дотична до кола.

5. Точка O — центр кола, AB — його хорда. Знайдіть ∠OAB,

якщо ∠AOB = 136°.

1) OA = OB (як радіуси кола), тому ∆AOB — рівнобедрений з основою AB. 2) ∠OAB = (180° – ∠O)∕2 = (180° – 136°)∕2 = 22°.

6. Накресліть відрізок FP завдовжки 5 см. За допомогою лiнiйки з подiлками й косинця проведiть серединний перпендикуляр до вiдрiзка FP.

Геометричним місцем точок, рівновіддалених від кінців відрізка FP є серединний перпендикуляр l до цього відрізκa.

7. Два кола мають зовнішній дотик. Відстань між їх центрами дорівнює 20 см. Знайдіть радіуси кіл, якщо один з них утричі більший за інший.

Нехай r2 = х см, тоді r1 = Зх см. Маємо: O1O2 = r1 + r2; Зх + х = 20; 4х = 20; х = 5 (см). Отже, r2 = 5 см; r1 = 3 ∙ 5 = 15 (см). Відповідь. 15 см; 5 см.

8. Побудуйте рівнобедрений трикутник, основа якого дорівнює 55 мм, а кут при вершині — 50°.

План побудови.

1) AB = 66 мм; ∠C = 50°.

2) ∠A = ∠B = 180° - 50°2 = 65°.

3) ∠MAB = 65°.

4) ∠NBA = 65°.

5) Промені AM і BN перетинаються у точці С.

6) ∆ABC — шуканий.

9. Коло, вписане в рівнобедрений трикутник, ділить його бічну

сторону на відрізки завдовжки 5 см і 2 см, починаючи від вершини,

що протилежна основі. Знайдіть периметр трикутника.

1) CB = AC = 5 + 2 = 7 (см). 2) За властивістю відрізків дотичних, проведених із однієї точки: BL = BK = 2 (см). 3) CL — бісектриса ∆ABC. Оскільки AC = CB, то CL є також і медіаною. Тому AB = 2 ∙ LB = 2 ∙ 2 = 4 (см). 4) P∆ = 2 ∙ 7 + 4 = 18 (см). Відповідь. 18 см.

10. З точки А, що лежить поза колом, проведено до нього дві дотичні AB і АС, де В і C — точки дотику, ∠ВАС = 60°. Знайдіть радіус кола, якщо відстань від точки А до центра кола дорівнює 8 см.

1) За властивістю дотичної OB⊥BA і OC⊥CA. 2) ∆OBA = ∆OCA (за катетом і гіпотенузою). 3) Тоді ∠OAB = ∠OAC = ∠ВАС2 = 60°2 = 30°. 4) У прямокутному трикутнику OBA за властивістю катета, що лежить проти кута 30°,

маємо: OB = ОА2 = 82 = 4 (см).

Відповідь. 4 см.

11. Не користуючись транспортиром, побудуйте кут, що дорівнює 120°.

1) Побудуємо прямокутний трикутник, у якого катет AC удвічі менший від гіпотенузи AB (за планом задачі №51.13).

2) Оскільки AC = АВ2, то ∠B = 30°; a ∠A = 90° – 30° = 60°.

3) Кут BAK — зовнішній кут ∆ABC. Тоді ∠BAK = 180° – 60° = 120° — шуканий.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 10

1. Накресліть коло. Проведіть в ньому радіус, діаметр і хорду.

OA, OB, OC — радіус кола; BC — діаметр кола; MN – хорда.

2. Дано коло із центром у точці О. Скільки спільних точок має коло з: 1) променем OK; 2) прямою OK?

1) Одну спільну точку; 2) дві спільні точки.

3. У колі із центром O проведено хорди AB і BC (мал. 1). Відомо, що ∠AOB = ∠BOC. Доведіть, що AB = BC.

1) AO = BO = CO (як радіуси). 2) ∆AOB = ∆BOC (за першою ознакою). Тому AB = BC, що й треба було довести.

4. У колі із центром O проведено діаметр AB і хорди AK і KB (мал. 2). Знайдіть кути трикутника AKB, якщо ∠KOB = 130°.

1) Оскільки AB — діаметр кола, то за теоремою про кут, під яким видно діаметр з точки кола, маємо ∠AKB = 90°. 2) OK = OB (як радіуси), тому ∆OKB — рівнобедрений і ∠OBK = ∠OKB = 180° - 130°2 = 25°.

3) В ∆AKB: ∠A = 180° – (25° + 90°) = 65°.

Відповідь. 90°; 25°; 65°.

5. Усі радіуси кола продовжили зовні кола на їх довжину. Яку лінію утворять їх кінці?

Коло з центром у центрі заданого кола і з радіусом, удвічі більшим за радіус даного кола.

6. Розділіть хорду навпіл за допомогою лише косинця, якщо

дано центр кола.

Для того, щоб виконати завдання, треба провести через центр кола пряму, перпендикулярну до хорди. Тоді за властивістю діаметра кола, перпендикулярного до хорди, отримаємо MK = KN.

7. Знайдіть градусну міру кута між двома хордами, що виходять з однієї точки і дорівнюють радіусу.

1) Нехай AB = AC — хорди, що дорівнюють радіусу кола r. 2) В ∆OBA: OB = OA = AB = r, тому ∆OBA — рівносторонній і ∠OAB = 60°. 3) Аналогічно ∠OAC = 60°. 4) ∠BAC = 60° + 60° = 120°. Відповідь. 120°.

8. AB — діаметр кола, K — деяка точка кола. Знайдіть кути трикутника ABK, якщо найменший його кут у 4 рази менший від середнього за величиною кута.

1) За теоремою про кут, під яким видно діаметр з точки кола, маємо ∠AKB = 90°. Тому кут AKB — найбільший кут ∆AKB. 2) Позначимо ∠A = х, тоді ∠B = 4х. Маємо х + 4х = 90°; 5х = 90°; х = 18°. Отже, ∠A = 18°; ∠B = 4 ∙ 18° = 72°. Відповідь. 90°; 18°; 72°.

9. У колі через середину радіуса OA перпендикулярно до нього проведено хорду MN. Знайдіть кути трикутника MON.

1) Нехай OA і MN перетинаються у точці K 2) OM = ON, тому ∆MON — рівнобедрений; OK – його висота і бісектриса. 3) OK = ОА2 але OM = OA, тому OK = ОМ2. 4) За властивістю катета, що дорівнює половині гіпотенузи, маємо ∠OMK = 30°.

5) У ∆OMN: ∠M = ∠N = 30°; ∠NOM = 180° – 2 ∙ 30° = 120°.

Відповідь: 30°; 30°; 120°.

10. Хорда перетинає діаметр під кутом 30° і ділить його на два відрізки завдовжки 7 см і 1 см. Знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди.

1) Нехай AB — діаметр кола; NM — хорда, що перетинає AB у точці K. AK = 7 см; KB = 1 см. 2) AB = 7 + 1 = 8 (см). 3) OB= АВ2 = 82 = 4 (см). 4) OK = 4 – 1 = 3 (см). 5) ∠OKT = 30° (за умовою); OT⊥MN; ОТ — відстань від центра

кола до хорди MN. 6) За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо OT = ОК2 = 32 = 1,5 (см).

Відповідь. 1,5 см.

11. Накресліть коло, радіус якого 2,5 см. Позначте на ньому точку L. Проведіть за допомогою косинця січну LK та дотичну LM до кола.

ML ⊥ OL; ML — дотична до кола, LK — січна.

12. Нехай OK — відстань від центра кола O до прямої р, а r — радіус кола. Яким є взаємне розміщення прямої і кола, якщо: 1) OK = 12 см, r = 14 см; 2) r = 7 см, OK = 70 мм; 3) OK = 2 дм, r = 18 см; 4) r = 32 мм, OK = 0,3 дм?

1) OK < r; пряма є січною до кола.

2) OK = r; пряма є дотичною до кола.

3) OK > r; пряма не перетинає коло.

4) OK < r; пряма є січною до кола.

13. Чи перетинаються дотичні до кола, що проходять через кінці його діаметра?

Оскільки l ⊥ AB i m ⊥ AB, то l ∥ m. Відповідь. Не перетинаються.

14. Пряма в точці А дотикається до кола із центром О. На дотичній по різні боки від точки А відкладено рівні відрізки AM і AN. Доведіть, що OM = ON.

1) OA ⊥ MN (за властивістю дотичних). 2) OA є висотою і медіаною ∆OMN. Використовуючи задачу №29.22, можна зробити висновок, що ∆OMN — рівнобедрений з основою MN. Тому OM = ON, що й треба було довести.

15. Радіус кола ділить навпіл хорду, яка не є діаметром. Доведіть, що дотична, проведена через кінець даного радіуса, паралельна даній хорді.

1) Нехай OA — радіус кола; MN — хорда, що перетинає радіус у точці К. 2) За умовою MK = KN, тому за властивістю діаметра, що проходить через середину хорди, маємо OA ⊥ MN. 3) Нехай l — дотична до кола; точка А — точка дотику.

Тоді за властивістю дотичної OA ⊥ l.

4) Отже, OA ⊥ MN і OA ⊥ l, тому MN ∥ l, що й треба було довести.

16. Накресліть тупокутний трикутник. За допомогою транспортира, циркуля та лінійки побудуйте коло, вписане в цей трикутник.

17. Накресліть кут 80°. За допомогою циркуля, косинця, транспортира та лінійки з поділками впишіть у цей кут коло так, щоб точка дотику до сторін кута знаходилася на відстані 2 cм від його вершини.

План побудови. 1) ∠AOB = 80°. 2) OK – бісектриса кута AOB. 3) OM = 2 см на стороні OB. 4) MN ⊥ OB; MN перетинає OK у точці Q. 5) Коло із центром у точці Q і з радіусом QM — шукане.

18. Центр кола, вписаного у трикутник, лежить на перетині двох медіан трикутника. Доведіть, що трикутник рівносторонній.

1) Нехай центр вписаного кола І лежить на перетині медіан AM і BK трикутника ABC. 2) Оскільки відомо, що центром кола, вписаного у трикутник, є точка перетину бісектрис цього трикутника, то AM є одночасно бісектрисою і медіаною; BK — так само. 3) Оскільки AM – бісектриса і медіана, то використовуючи наслідок

задачі №30.22, робимо висновок, що ∆ABC — рівнобедрений з основою BC. Тому AC = AB.

4) Оскільки BK – бісектриса і медіана, то аналогічно робимо висновок, що AB = BC.

5) Отже, AB = AC = BC, тобто ∆ABC – рівносторонній, що й треба було довести.

19. Вписане в рівнобедрений трикутник коло ділить бічну сторону у відношенні 2 : 3, починаючи від основи. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 70 см.

1) Позначимо BK = 2x см; AK = Зх см. 2) За властивістю відрізків дотичних, проведених з однієї точки, BL = BK = 2х (см). 3) AL — бісектриса ∆ABC. Оскільки AB = АС, то AL є також медіаною. Тому BC = 2 ∙ BL = 2 ∙ 2х = 4х (см). 4) P∆АВС = 2AB + BC = 2 ∙ 5x + 4х = 14х (см). За умовою 14х = 70. Тоді х = 5 (см).

5) Отже, AB = AC = 5 ∙ 5 = 25 (см); BC = 4 ∙ 5 = 20 (см).

Відповідь. 25 см; 25 см; 20 см.

20. Накресліть прямокутний трикутник. За допомогою креслярських інструментів опишіть навколо нього коло.

Зауважимо, що центром описаного кола є середина гіпотенузи.

21. Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику центр описаного

кола належить прямій, що містить висоту трикутника, проведену до основи.

1) Нехай у ∆ABC: AB = BC; BK – висота трикутника. 2) Тоді BK є також і медіаною, тобто K — середина АС. 3) Тому пряма BK — серединний перпендикуляр до АС. Центр кола, описаного навколо ∆ABC, належить цьому серединному перпендикуляру. Отже, центр кола, описаного навколо рівнобедреного

трикутника належить прямій, що містить висоту трикутника, що й треба було довести.

22. Доведіть, що центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається із центром кола, вписаного в цей трикутник.

1) Нехай ∆ABC — рівносторонній, AL і BK – бісектриси, що перетинаються в точці О. 2) Тоді точка О — центр вписаного кола. 3) У рівносторонньому трикутнику бісектриси є також висотами і медіанами, а тому й серединними перпендикулярами до сторін трикутника. 4) Отже, точка O — точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Тому точка

O — центр описаного кола.

5) Центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається з центром кола, вписаного в цей трикутник, що й треба було довести.

23. На малюнку 3 точка O – центр кола. 1) ∠1 = 40°. Знайдіть ∠2. 2) ∠2 = 25°. Знайдіть ∠1.

1) ∠1 = 40°, ∠2 = 12 • 40° = 20°.

2) ∠2 = 25°, ∠1 = 2 • ∠2 = 2 • 25° = 50°.

24. На малюнку 4 точка O – центр кола. Знайдіть ∠2, якщо: 1) ∠1 – ∠2 = 15°; 2) ∠1 + ∠2 = 54°.

∠1 = 2 • ∠2.

1) ∠1 – ∠2 = 15°; 2 • ∠2 – ∠2 = 15°; ∠2 = 15°.

2) ∠1 + ∠2 = 54°; 3 • ∠2 = 54°; ∠2 = 18°.

25. Гострокутний трикутник ABC вписано в коло із центром у точці О. Знайдіть ∠BOC, якщо ∠A = а.

∠А = 12◡ВС;

◡ВС = 2∠А = 2а.

∠ВОС = ◡ВС = 2а.

Відповідь: 2а.

26. У коло радіуса 2 см вписано кут ABC, що дорівнює 30°. Знайдіть довжину хорди AC.

∠АВС = 30° — вписаний, ◡АС = 2∠АВС = 60°.

∠АОС — центральний, ∠АОС = ◡АС = 60°. △АОС — рівносторонній (АО = ОС, ∠АОС = 60°, ∠ОАС = ∠ОСА = 60°). Отже, АС = АО = 2 см.

Відповідь: 2 см.

27. Продовження бісектриси кута А трикутника ABC перетинає коло, описане навколо трикутника, у точці К. Доведіть, що BK = CK.

∠ВАК = 12◡ВК; ∠САК = 12◡СК;

∠ВАК = ∠САК за умовою, тоді

12◡ВК = 12◡СК; ◡ВК = ◡СК.

28. Коло поділено чотирма точками на частини, які відносяться як 1 : 2 : 3 : 4, і точки поділу сполучено між собою відрізками. Визначте кути утвореного чотирикутника.

1 + 2 + 3 = 4 = 10. Коло поділили на 10 частин. Стороні АВ чотирикутника відповідає 1 частина, стороні ВС — 2, СD — З і АD — 4 частини. Дуга, що відповідає одній частині, дорівнює 360° : 10 = 36°.

∠А спирається на дугу ◡АD = 6 • 36° = 216°.

∠A = 12◡AD = 216° : 2 = 108°.

Аналогічно, ∠B = 12◡AC = 12 • 7 • 36° = 126°.

∠C = 12◡BD = 12 • 5 • 36° = 90°.

∠D = 12◡AC = 12 • 3 • 36° = 54°.

Відповідь: 108°, 126°, 90°, 54°.

29. Знайдіть геометричне місце точок, з яких даний відрізок MN видно під заданим кутом а.

Нехай ММ — даний відрізок. Побудуємо два трикутника MNO₁ і MNO₂ так, щоб точки О₁ і O₂ лежали по різні боки від прямої МN і ∠МО₁N = ∠МО₂N = 2а. Опишемо кола навколо цих трикутників. Розглянемо дугу ◡MAN. З будь–якої точки цієї дуги відрізок MN

буде видно під тим самим кутом, що вимірюється половиною дуги ◡MSN. Під цим же кутом буде видно відрізок і з точок дуги МВN. З жодної іншої точки, що не лежить на жодній з цих дуг, відрізок не можна бачити під кутом а. Отже, геометричне місце точок, з яких даний відрізок МN видно під кутом а, складається з двох дуг кіл, симетрично розміщених відносно даного відрізка.

30. Накресліть відрізок завдовжки 4 см. Побудуйте два кола, центрами яких є кінці заданого відрізка, такі, що: 1) не перетинаються; 2) перетинаються.

1) Кола не перетинаються.

2) Кола перетинаються в точках А і В.

31. Діаметр більшого з концентричних кіл ділиться меншим колом на три частини, що дорівнюють 3 см, 8 см і 3 см. Знайдіть радіуси кіл.

1) AB = CD = 3 cм; BC = 8 см. 2) Радіус меншого кола r1 = ВС2 = 82 = 4 (см). 3) Радіус більшого кола r2 = OB + BA = 4 + 3 = 7 (см). Відповідь. 4 см; 7 см.

32. На малюнку зображено концентричні кола, радіуси яких відносяться як 10 : 7. Знайдіть ці радіуси, якщо AB = 12 см.

1) OB : OA = 10 : 7, позначимо OB = 10х; OA = 7x. 2) AB = OB – OA; 10x – 7x = 12; 3x = 12; x = 4 (см). 3) Тоді OB = 10 ∙ 4 = 40 (см); OA = 7 ∙ 4 = 28 (см). Відповідь. 40 см; 28 см.

33. За якого розміщення двох кіл до них можна провести лише три спільні дотичні?

1) Якщо кола не перетинаються, то є чотири спільні дотичні.

2) Якщо кола перетинаються, то є дві спільні дотичні.

3) При внутрішньому дотику є одна спільна дотична.

4) При зовнішньому дотику є три спільні дотичні.

Відповідь. При зовнішньому дотику двох кіл.

34. Відстань між центрами двох кіл, що дотикаються, дорівнює 16 см. Знайдіть радіуси цих кіл, якщо вони відносяться як 5 : 3. Розгляньте всі можливі випадки.

Позначимо r₁ = 5x см; r₂ = 3x см.

І випадок. Зовнішній дотик кіл. Тоді 5х + Зх = 16; 8х = 16;

х = 2 (см). Отже, r₁ = 5 ∙ 2 = 10 (см); r₂ = 3 ∙ 2 = 6 (см).

ІІ випадок. Внутрішній дотик кіл. Тоді 5х – Зх = 16; 2х = 16;

х = 8 (см). Маємо, r₁ = 5 ∙ 8 = 40 (см), r₂ = 3 ∙ 8 = 24 (см).

Відповідь. 10 см і 6 см або 40 см і 24 см.

35. Накресліть довільний кут А і побудуйте коло із центром у його вершині, радіус якого дорівнює відрізку, зображеному на малюнку 5. Чи перетинає коло кожну зі сторін кута?

Коло перетинає кожну зі сторін кута.

36. Побудуйте відрізок, довжина якого удвічі більша за довжину відрізка на малюнку 5.

Довжина відрізка AC удвічі більша за довжину заданого відрізка AB.

37. Накресліть за допомогою транспортира кут, градусна міра якого дорівнює 80°. Побудуйте (без транспортира) кут, що дорівнює даному, і його бісектрису.

38. Накресліть довільний трикутник і проведіть його бісектриси.

AK; BL; CM – бісектриси трикутника.

39. Накресліть гострокутний трикутник та проведіть його медіани. Упевніться в тому, що медіани перетнулися в одній точці.

AK; BL; CM — медіани трикутника.

40. Накресліть довільний тупий кут. Побудуйте кут, що дорівнює:

1) 14 від накресленого кута; 2) 34 з від накресленого кута.

План побудови.1) OK — бісектриса кута AOB (задача З,cтop. 157).2) OL — бісектриса кута KOB (задача З,cтop. 157).Тоді ∠LOB = 14 ∠AOB; ∠AOL = 34 ∠AOB.

41. За двома даними кутами трикутника побудуйте кут, що

дорівнює його третьому куту.

Нехай задано кути A i B трикутника ABC. Тоді ∠C = 180° – (∠A + ∠B).

План побудови.

1) Розгорнутий кут О.

2) ∠MOK = ∠A.

3) ∠LOK = ∠B.

4) Тоді ∠NOL = ∠C.

42. Побудуйте рівнобедрений прямокутний трикутник за його гіпотенузою.

Нехай задано гіпотенузу AB рівнобедреного прямокутного трикутника.

План побудови.

1) Будуємо кут 45° (за схемою задачі №51.46). ∠LMK = 45°.

2) Відкладаємо на прямій відрізок AB.

3) ∠FAB = ∠M = 45°.

4) ∠EBA = ∠M = 45°.

5) Промені AF і BE перетинаються в точці С.

6) ΔABC — шуканий трикутник.

43. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і гострим кутом.

Нехай задано катет AC та гострий кут А прямокутного трикутника

ABC.

План побудови.

1) Перпендикулярні прямі m і n, що перетинаються в точці C (за схемою задачі №51.11).

2) На прямій т відкладаємо АС.

3) ∠MAC = ∠A.

4) Промінь AM перетинає пряму п у точці В.

5) ∆ABC — шуканий.

44. Побудуйте рівнобедрений трикутник за основою а та радіусом описаного кола R (а < 2R). Скільки розв’язків має задача?

Нехай задано основу рівнобедреного трикутника а і радіус описаного кола R (а < 2R).

План побудови.

1) Коло з радіусом R.

2) В — довільна точка кола.

3) Дуга кола, радіус якого дорівнює а, з центром у точці В, яке перетинає коло у точці С.

4) Серединний перпендикуляр до відрізка BC (задача 4, cтop. 155), що перетинає коло у точках A₁ і A₂.

5) ∆A₁BC і ∆A₂BC — шукані. Задача має два розв’язки.

45. Побудуйте трикутник за двома сторонами та кутом, що

лежить проти меншої з них.

Нехай задано сторони AB і AC трикутника ABC (AB < АС) і кут С.

План побудови.1) На прямій m відкладаємо відрізок АС.2) ∠MCA = ∠C.3) Коло з центром у точці А таз радіусом AB, що перетинає проміньCM у точках B1 і B2.4) ∆AB1C і ∆AB2C — шукані.

46. Побудуйте рівнобедрений трикутник за кутом між бічними

сторонами і бісектрисою, проведеною з вершини кута при основі.

Нехай задано кут А при вершині рівнобедреного трикутника ABC та бісектрису BK трикутника.

План побудови.

1) Знайдемо кути B i C при основі трикутника; ∠B = ∠C = 180° - ∠А 2. Для цього побудуємо ∠MNK = ∠A та суміжний до цього кута кут LNM та побудуємо бісектрису кута LNM — промінь NT. Тоді ∠LNT= ∠B = ∠C.

2) NP – бісектриса кута ∠LNT. Тоді ∠PNL = ∠KBC.

3) ∠KBC = 180° – (∠C + ∠KBC). Для побудови кута BKC від розгорнутого кута відкладемо ∠C і ∠KBC; ∠DEF = ∠C; ∠DEG = ∠KBC. Тоді ∠GEH = ∠BKC.

4) Будуємо ∠KBC за стороною і двома прилеглими кутами.

5) ∠KBQ = ∠CBK

6) CK і BK перетинаються

7) ∆ABC – шуканий.

47. Побудуйте прямокутний трикутник за катетом і сумою

другого катета і гіпотенузи.

Нехай задано катет а і суму іншого катета b і гіпотенузи с.

План побудови.

1) Будуємо прямокутний трикутник DCB за двома катетами а і b + с.

2) Будуємо серединний перпендикуляр до відрізка BD, що перетинає DC у точці А.

3) Тоді AB = AD, а тому AB + AC = AD + AC = b + с, тобто ∆ABC — шуканий трикутник.