Відповіді на вправи ЧАСТИНА 2: 50.12

50.12. Два кола перетинаються в точках A i B. Точки O₁ і O₂ — центри цих кіл. Доведіть, що O₁O₂ ⊥ AB.

1) O1A = O1B (як радіуси), O2A = O2B (аналогічно), O1O2 — спільна сторона трикутників O1AO2 і O1BO2. Тому ∆O1AО2 = ∆O1BO2 (за третьою ознакою).2) Тому ∠AO1O2 = ∠BO1O2, тобто

O₁K — бісектриса рівнобедреного трикутника AO₁B, що проведена до основи.

3) Оскільки O₁A = O₁B і O₁K – бісектриса ∆AO₁B, то O₁K – також є висотою ∆AO₁B. Отже, O₁O₂⊥AB, що й треба було довести.