Відповіді на вправи ЧАСТИНА 2: 41.17

41.17. Коник–стрибунець може переміщуватися вздовж даної прямої на 4 см або 6 см (у будь–який бік). Чи зможе він за кілька стрибків опинитися в точці, що знаходиться від початкової на відстані:

1) 2024 см; 2) 2025 см?

Оскільки коник–стрибунець стрибає по заданій прямій тільки на

4 см або 6 см, то за будь–яку кількість кроків він може опинитися від початкової точки на х см, де х — парне число.

1) Виконавши 506 стрибків на 4 см в одну зі сторін, коник–стрибунець потрапить в точку, що знаходиться на відстані 2024 см від початкової (бо 506 ∙ 4 = 2024).

2) Коник–стрибунець не може опинитися на відстані 2025 см від початкової (див. вище), бо 2025 — непарне число.

Відповідь. 1) Так; 2) ні.

Домашня самостійна робота №8 (§38 – §41)

1. Три кути трикутника можуть дорівнювати...

А) 20° + 20° + 150° = 190°;В) 50° + 60° + 70° = 180°;

Б) 30° + 100° + 40° = 170°;Г) 60° + 60° + 61° = 181°.

Відповідь. В) 50°; 60°; 70°.

2. У ΔABC AB > АС. Порівняйте ∠B і ∠C цього трикутника.

Оскільки AB > АС , то ∠C > ∠B.

Відповідь. A) ∠B < ∠C.

3. Знайдіть другий гострий кут прямокутного трикутника, якщо перший дорівнює 40°.

90° – 40° = 50°.

Відповідь. В) 50°.

4. Один з кутів трикутника дорівнює 72°. Знайдіть суму двох

інших кутів трикутника.

∠A + ∠B = 180° – 72° = 108°.

Відповідь. Б) 108°.

5. Зовнішній кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 140°. Знайдіть кут при основі цього трикутника.

∠В = ∠С = 140°2 = 70°.Відповідь: Г) 70°.

6. Дві сторони трикутника дорівнюють 2,7 см і 4,2 см. Якому цілому числу сантиметрів НЕ може дорівнювати третя сторона трикутника?

Нехай третя сторона дорівнює х см.

Тоді |2,7 – 4,2∣ < x < 2,7 + 4,2;

1,5 < x < 6,9.

Відповідь. Г) 8 см.

7. Один з гострих кутів прямокутного трикутника на 30° менший від другого, а гіпотенуза трикутника дорівнює 8 см. Знайдіть менший з його катетів.

1) Нехай ∠A = x, тоді ∠B = x + 30°.2) Маємо x + x + 30° = 90°; 2x = 60°; х = 30°; ∠А = 30°; ∠B = 60°.3) ∠A < ∠B, тому BC < АС.4) AB = 8 см. За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо CB = 82 = 4 (см).

Відповідь. Б) 4 см.

8. У трикутнику два кути дорівнюють 60° і 50°. Знайдіть кут між прямими, що містять бісектриси цих кутів.

1) Нехай у ∆АВС: ∠САВ = 60°; ∠СВА = 50°; AL і ВМ – бісектриси трикутника.2) ∠LАВ = ∠САВ 2 = 60°2 = 30°;∠МВА = ∠САВ 2 = 50°2 = 25°;

3) В ∆АОВ: ∠АОВ = 180° – (30° + 25°) = 125°.

4) ∠МОА = 180° – 125° = 55°.

Відповідь: Г) 55°.

9. Периметр трикутника дорівнює 16 см. Якою НЕ може бути довжина однієї з його сторін?

Нехай а; b; с — сторони трикутника. Оскільки a + b > с, то сума двох сторін має бути більшою за половину периметра, а відповідно третя сторона — менша за половину периметра.

Р 2 = 162 = 8 (см).

Отже, кожна зі сторін трикутника може бути меншою за 8 см.

Відповідь. А) 8 см.

10. Бісектриса кута при основі рівнобедреного трикутника дорівнює основі цього трикутника. Знайдіть кут при основі цього трикутника.

1) Нехай ∆ABC — рівнобедрений, AC = AB; CK – бісектриса. За умовою CK = CB.2) Позначимо ∠ACK = ∠KCB = х, тоді ∠ABC = 2х.3) Оскільки CKB — рівнобедрений з основою KB, то ∠CKB = ∠B = 2х.4) У ∆BCK маємо: х + 2х + 2х = 180°; 5х = 180°; х = 36°.

5) ∠B = 2 ∙ 36° = 72°.

Відповідь. Б) 72°.

11. Зовнішні кути трикутника відносяться як 3 : 5 : 7. Знайдіть менший з внутрішніх кутів трикутника.

1) Оскільки сума зовнішніх кутів трикутника, взятих по одному при

кожній вершині, дорівнює 360°, то позначивши зовнішні кути Зх; 5х і 7х, маємо Зх + 5х + 7х = 360°; 15х = 360°; х = 24°.

2) Оскільки меншому із внутрішніх кутів трикутника відповідає більший зовнішній кут, то менший внутрішній кут трикутника дорівнює

180° – 7 ∙ 24° = 12°.

Відповідь. А) 12°.

12. У прямокутному трикутнику один з кутів дорівнює 60°, а сума меншого катета і медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює 10 см. Знайдіть гіпотенузу трикутника.

1) Нехай у ∆ABC: ∠C = 90°; ∠B = 60°; CM — медіана.2) ∠A = 90° – ∠B = 90° – 60° = 30°, тому BC = х см – менший катет.3) За властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо BС = АВ2, тому AB = 2х (см).

4) За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи, маємо

СМ = АВ2 = 2х2 = х (см).

5) За умовою CM + BC = 10; х + х = 10; 2х = 10; х = 5 (см).

6) Тоді AB = 2 ∙ 5 = 10 (см).

Відповідь. В) 10 см.

13. У прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 40°. Установіть відповідність між кутами (1–3) та їхніми градусними мірами (А–Г).

1. Кут, що утворює висота трикутника, проведена до гіпотенузи, із більшим катетом. – Б. 50°.

2. Менший з кутів, що утворює бісектриса прямого кута з гіпотенузою. – Г. 85°.

3. Кут між прямими, що містять бісектриси прямого і меншого гострого кута трикутника. – В. 65°.

1 – Б; 2 – Г; 3 – В.

Завдання для перевірки знань до (§38 – §41)

1. Знайдіть третій кут трикутника, якщо два з його кутів дорівнюють 30° і 80°.

180° – (30° + 80°) = 70°.

2. Накресліть ΔPLK та його зовнішній кут при вершині Р.

∠KPM – зовнішній кут при вершині Р.

3. За якими елементами рівні між собою прямокутні трикутники,

зображені на малюнку 1? Запишіть відповідні рівності.

∆ABC = ∆DEF (за катетом та прилеглим гострим кутом).

4. Кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 71°. Знайдіть кут при вершині цього трикутника.

∠A = ∠B = 71°; ∠C = 180° – 2 ∙ 71° = 38°.

5. На малюнку 2 BP — висота трикутника ABC, ∠ABP = 32°, ∠PBC = 67°. Знайдіть кути трикутника ABC.

1) ∠ABC = 32° + 67° = 99°.

2) В прямокутному ∆ABP : ∠A = 90° – 32° = 58°.

3) В прямокутному ∆PBC : ∠C = 90° – 67° = 23°.

Відповідь. 99°; 58°; 23°.

6. Дві сторони трикутника дорівнюють 5,2 см і 6,3 см. Якому найбільшому цілому числу сантиметрів може дорівнювати третя сторона?

Нехай третя сторона дорівнює х см. Тоді ∣6,3–5,2∣ < х < 6,3 + 5,2;

1,1 < х < 11,5. х = 11 (см) — найбільше ціле число, якому може дорівнювати третя сторона.

Відповідь. 11 см.

7. Один з кутів трикутника вдвічі менший за другий і на 16° більший за третій. Знайдіть кути трикутника.

1) Нехай ∠A = x, тоді ∠B = 2х; ∠C = х – 16°.2) Маємо х + 2х + х – 16° = 180°; 4х = 196°; х = 196° : 4; х = 49°.3) Отже, ∠A = 49°; ∠B = 2 ∙ 49° = 98°;

∠C = 49 ° – 16° = 33°.

Відповідь. 49°; 98°; 33°.

8. Один із зовнішніх кутів трикутника дорівнює 112°. Знайдіть

внутрішні кути, не суміжні з ним, якщо вони відносяться як 3 : 5.

1) Нехай ∠KCB = 112° — зовнішній кут трикутника.2) Оскільки ∠B : ∠A = 3 : 5, то можна позначити ∠B = Зх; ∠A = 5х.3) Маємо за властивістю зовнішнього кута трикутника: Зх + 5х = 112°; 8х = 112°; х = 14°.

4) Отже, ∠B = 3 ∙ 14° = 42°; ∠C = 5 ∙ 14° = 70°.

Відповідь. 42°; 70°.

9. У прямокутному трикутнику BCD ∠C = 90°, BM — бісектриса

трикутника, ∠CBD = 60°. Знайдіть довжину катета CD, якщо CM = 8 см.

1) ∠CBM = ∠MBD = 60°2 = 30°.2) У ∆CBM за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо BM = 2 ∙ CM = 2 ∙ 8 = 16 (см).

3) В ∆CBB: ∠B = 90° – 60° = 30°.

4) Трикутник BMD — рівнобедрений, оскільки ∠MBD = ∠D = 30°,

тому MD = MB = 16 (см).

5) CD = CM + MD = 8 + 16 = 24 (см).

Відповідь: 24 см.

10. Зовнішні кути трикутника відносяться як 4 : 5 : 6. Знайдіть

відношення внутрішніх кутів трикутника.

1) Нехай ∠KAB, ∠ABM, ∠NCA – зовнішні кути трикутника. ∠KAB : ∠ABM : ∠NCA = 4 : 5 : 6. Позначимо ∠KAB = 4х; ∠ABM = 5х; ∠NCA = 6х.2) Маємо 4х + 5х + 6х = 360°; 15х = 360°; х = 360° : 15; х = 24°.

3) Тоді ∠CAB = 180° – 4 ∙ 24° = 84°; ∠ABC = 180° – 5 ∙ 24° = 60°;

∠BCA = 180° – 6 ∙ 24° = 36°

4) ∠CAB : ∠ABC : ∠BCA = 84° : 60° : 36° = 7 : 5 : 3.

11. Чи існує трикутник з периметром 23 см, одна сторона якого на 3 см більша за другу і на 5 см менша від третьої?

1) Нехай AB = X см, тоді AC = (х – 3) см, BC = (х+ 5) см.2) Тоді х + х – 3 + х + 5 = 23; Зх = 23 – 5 + 3; Зх = 21; х = 7 (см).3) Отже, AB = 7 см, тоді AC = 7 – 3 = 4 (см), BC = 7 + 5 = 12 (см).

4) Оскільки 7 + 4 < 12, то трикутника не існує.

Відповідь. Не існує.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 8

1. Знайдіть кут C трикутника ABC, якщо: 1) ∠A = 65°, ∠B = 29°; 2) ∠A = 37°, ∠B = 116°.

1) ∠C = 180° – (65° + 29°) = 86°;

2) ∠C = 180° – (37° + 116°) = 27°.

2. На малюнку 1 CK — бісектриса рівнобедреного трикутника ABC з основою CB. Знайдіть: 1) ∠A, якщо ∠KCB = 32°; 2) ∠ACK, якщо ∠A = 56°.

1. 1) ∠ACB = 2∠KCB = 2 ∙ 32° = 64°.

2) ∠A = 180° – 2 ∙ 64° = 52°.

2. 1) ∠ACB = ∠B = (180° – 56°) : 2 = 62°.

2) ∠ACK = ∠ACB : 2 = 62° : 2 = 31°.

Відповідь. 1) 52°; 2) 31°.

3. Визначте вид трикутника ABC за сторонами, якщо ∠A = 76°, ∠B = 28°.

1) ∠C = 180° – (76° + 28°) = 76°.

2) Отже, трикутник ABC — рівнобедрений.

Відповідь. Рівнобедрений.

4. За малюнком 2 знайдіть градусну міру кута х.

60° + х + 40° + 45° = 180°; 145° + х = 180°; х = 35°.

Відповідь: 35°.

5. Один з кутів трикутника дорівнює 60°, а два інших відносяться як 2 : 3. Знайдіть ці кути.

1) Нехай у ∆АBC: ∠A = 60°; ∠B : ∠C = 2 : 3. Позначимо ∠B = 2х; ∠C = Зх.2) Маємо 60° + 2х + Зх = 180°; 5х = 180° – 60°; 5х = 120°; х = 120° : 5; х = 24°.3) Отже, ∠B = 2 ∙ 24° = 48°; ∠C = 3 ∙ 24° = 72°.

Відповідь. 48°; 72°.

6. Знайдіть кут між двома прямими, що містять медіани

рівностороннього трикутника.

1) Нехай AN і CM — медіани рівносторонньоготрикутника ABC.2) Оскільки трикутник рівносторонній, то ANі CM є також бісектрисами.3) ∠NAC = ∠MCA = 60°2 = 30°.4) В ∆AKC : ∠K= 180° – 2 ∙ 30° = 120°.

5) Тоді ∠MKA = 180° – 120° = 60°.

Відповідь. 60°.

7. Бісектриса одного з кутів трикутника утворює з висотою, проведеною з тієї самої вершини, кут 16°, а менший з двох інших кутів трикутника дорівнює 50°. Знайдіть невідомі кути трикутника.

1) Нехай у трикутнику ABC: ∠C = 90°;∠C < ∠A; BK – висота трикутника; BL — бісектриса трикутника.2) ∠KBL = 16° (за умовою).3) У ∆KBL (∠K = 90°): ∠KLB = 90° – 16° = 74°.

4) ∠BLC = 180° – 74° = 106° (за властивістю суміжних кутів).

5) У ∆LBC: ∠LBC = 180° – (106° + 50°) = 24°.

6) Оскільки BL — бісектриса ∆ABC, то ∠ABC = 2 ∙ 24° = 48°.

7) У ∆ABC: ∠A = 180° – (48° + 50°) = 82°.

Відповідь. 48°; 82°.

8. Знайдіть градусну міру кута трикутника, якщо він: 1) дорівнює 15 від суми градусних мір двох інших кутів; 2) на 40° менший від суми двох інших кутів.

Нехай у ∆ABC: ∠A = х; ∠B = у; ∠C = z.1) За умовою z = 15 (х + у). Оскільки за властивістю суми кутів трикутника х + у = 180° – z, то маємо 5z = 180° – z; 6z = 180°; z = 30°.

2) За умовою z + 40° = х + у. Тоді як х + у = 180° – z. Маємо z + 40° = 180° – z; 2z = 140°; z = 70°.

Відповідь. 1) 30°; 2) 70°.

9. У рівнобедреному трикутнику ABC з основою AB проведено бісектрису AK. Знайдіть: 1) ∠В, якщо ∠AKB = 60°; 2) ∠С, якщо ∠AKC = 111°.

Нехай у ∆ABC: AC = BC і AK — бісектриса трикутника.1. 1) За умовою ∠AKB = 60°. Позначимо ∠CAK = ∠KAB = х, тоді ∠B = 2х.2) Маємо у ∆ABK х + 2х + 60° = 180°; Зх = 120°; х = 40°. Тоді ∠B = 2 ∙ 40° = 80°.

2. 1) За умовою ∠AKC = 111°. Позначимо ∠CAK = ∠КАВ = у, тоді

∠В = 2у. У ∆АВС: ∠С = 180° – 2 ∙ 2у = 180° – 4у.

2) У ∆AKC маємо у + 111° + 180° – 4у = 180°; 3у = 111°; у = 37°. Тоді ∠C = 180° – 4 ∙ 37° = 32°.

Відповідь. 1) 80°; 2) 32°.

10. Накресліть ΔMNK та по одному зовнішньому куту при кожній вершині цього трикутника.

11. Зовнішній кут при основі рівнобедреного трикутника дорівнює 150°. Знайдіть внутрішні кути трикутника.

1) ∠ABC = 180° – 150° = 30° (за властивістю суміжних кутів).2) ∠C = ∠ABC = 30°.3) ∠A = 180° – 2 ∙ 30° = 120°.Відповідь. 30°; 30°; 120°.

12. Один з кутів трикутника дорівнює 80°. Чи може зовнішній кут трикутника, не суміжний з ним, дорівнювати: 1) 102°; 2) 80°; 3) 75°?

Зовнішній кут трикутника має бути більшим за внутрішній кут, не

суміжний з ним.

Відповідь. 1) Так; 2), 3) ні.

13. Зовнішні кути при двох вершинах трикутника дорівнюють 115° і 137°. Знайдіть градусну міру зовнішнього кута при третій вершині.

Використовуючи властивість зовнішніх кутів трикутника, взятих по

одному при кожній вершині (задача №39.22). Тоді зовнішній кут при

третій вершині дорівнює 360° – (115° + 137°) = 108°.

Відповідь. 108°.

14. Один з кутів трикутника дорівнює половині зовнішнього

кута, не суміжного з ним. Доведіть, що трикутник — рівнобедрений.

Нехай у трикутнику ABC: ∠C = ∠ВАК2, де кутBAK – зовнішній кут.2) Позначимо ∠C = х, тоді ∠BAK = 2х.3) Оскільки ∠ВAК = ∠С + ∠В, то 2х = х + ∠В і ∠В = х.4) Отже, ∠В = ∠С, тому за ознакою отримаємо, що ∆АВС – рівнобедрений, що й треба було довести.

15. Два внутрішніх кути трикутника відносяться як 2 : З, а зовнішній кут третього кута дорівнює 140°. Знайдіть кути трикутника.

1) Нехай кут ВСК – зовнішній кут трикутника. ∠ВСК = 140°. Тоді ∠АСВ = 180° – 140° = 40°.2) За умовою ∠А : ∠В = 2 : 3. Позначимо ∠А = 2х; ∠В = 3х.3) За властивістю зовнішнього кута ∠ВСК = ∠А + ∠В.

Маємо 2х + 3х = 140°; 5х = 140°; х = 140° : 5; х = 28°.

Тоді ∠А = 2 ∙ 28°. Тоді ∠А = 2 ∙ 28° = 56°; ∠В = 3 ∙ 28° = 84°.

Відповідь: 40°; 56°; 84°.

16. Сума внутрішніх кутів рівнобедреного трикутника разом з одним із зовнішніх кутів дорівнює 260°. Знайдіть градусні міри внутрішніх кутів трикутника.

1) Оскільки сума внутрішніх кутів трикутника разом з одним із зовнішніх кутів дорівнює 260°, то цей зовнішній кут дорівнює
	260° – 180° = 80°.2) Оскільки зовнішній кут рівнобедреного трикутника гострий, а за задачею 39.11 серед зовнішніх кутів трикутника може бути лише один гострий кут, то цим кутом є зовнішній кут

при вершині трикутника.

3) ∠АСВ = 180° – 80° = 100° (за властивістю суміжних кутів).

4) ∠А = ∠В = 180° - 100°2 = 40°.

Відповідь. 100°; 40°; 40°.

17. Доведіть, що не існує трикутника, у якому зовнішні кути при кожній з вершин більші за 120°.

Припустимо, що існує трикутник, у якому зовнішні кути при всіх вершинах більші за 120°. Тоді сума всіх зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині, більші за 3 ∙ 120° = 360°. Це суперечить висновку задачі №39.22.

Наше припущення хибне. Отже, не існує трикутника, в якому зовнішні кути при всіх вершинах більші за 120°, що й треба було довести.

18. Внутрішній кут трикутника дорівнює різниці зовнішніх кутів, не суміжних з ним. Доведіть, що трикутник — прямокутний.

1) Нехай у трикутнику ABC: ∠B = х – у, де х і у — градусні міри зовнішніх кутів цього трикутника, не суміжних із кутом В.2) ∠CAB = 180° – х; ∠ACB = 180° – у.3) У ∆ABC: ∠B + ∠CAB + ∠ACB = 180°; х – у + 180° – х + 180° – у = 180°; –2у = 180° – 360°; 2у = 180°; у = 90°.

Тоді ∠ACB = 180° – 90° = 90°.

4) Отже, ∆ABC — прямокутний, що й треба було довести.

19. Укажіть умови, з яких слідує рівність двох прямокутних

трикутників: 1) катет одного трикутника дорівнює катету другого трикутника; 2) катет і прилеглий до нього кут одного трикутника дорівнює катету і прилеглому до нього куту другого трикутника; 3) два гострі кути одного трикутника дорівнюють двом гострим кутам другого; 4) катет і гіпотенуза одного трикутника дорівнюють катету і гіпотенузі другого.

З умов 2) і 4).

20. У прямокутному трикутнику MKP ∠K = 60° (мал. 3).

Знайдіть: 1) ∠M; 2) PK, якщо MK = 24 см; 3) MK, якщо PK = 30 мм.

1) ∠M = 90° – 60° = 30°.

2) PK= МК2 = 242 = 12 (см).

3) MK= 2 ∙ PK = 2 ∙ 30 = 60 (см).

21. На малюнку 4 ∠B = ∠P = 90°, CA — бісектриса кута С. Доведіть, що ∆ABC = ∆APC.

1) Оскільки CA — бісектриса кута С, то ∠ACB = ∠ACP.

2) AC — спільна гіпотенуза прямокутних трикутників ABC і APC.

3) ∆ABC = ∆AРC (за гіпотенузою і гострим кутом), що й треба було довести.

22. Знайдіть гострі кути прямокутного трикутника, якщо їх градусні міри відносяться як 7 : 3.

1) Нехай у ∆ABC: ∠C = 90°; ∠A : ∠B = 7 : 3. Позначимо ∠A = 7х; ∠B = Зх.2) Маємо 7x + Зх = 90°; 10x = 90°; х = 9°.

3) Тоді ∠A = 7 ∙ 9° = 63°; ∠B = 3 ∙ 9° = 27°.

Відповідь. 63°; 27°.

23. З вершини прямого кута прямокутного трикутника проведено

бісектрису і висоту, кут між якими 15°. Знайдіть гострі кути трикутника.

1) Нехай у прямокутному трикутнику ABC із прямим кутом С: CK – висота; CL — бісектриса. За умовою ∠KCL = 15°.2) Оскільки CL—бісектриса, то ∠LCB = 90°2 = 45°.

3) ∠KCB = 15° + 45° = 60°.

4) У ∆CKB: ∠B = 90° – 60° = 30°.

5) У ∆ABC: ∠A = 90° – 30° = 60°.

Відповідь. 30°; 60°.

24. У прямокутному трикутнику ABC AC = BC. Знайдіть довжину гіпотенузи, якщо висота, проведена до неї, дорівнює 5 см.

1) Оскільки у ∆ABC: AC = BC, то ∆ABC — рівнобедрений з основою AB. А тому CK є висотою і медіаною.2) За властивістю медіани прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи, маємо AB = 2СК = 2 ∙ 5 = 10 (см).Відповідь. 10 см.

25. Знайдіть кут між бісектрисами гострих кутів прямокутного

трикутника.

1) Нехай бісектриси AK і BN прямокутного трикутника ABC, з прямим кутом С, перетинаються у точці L.2) ∠САВ + ∠СВА = 90°.3) ∠LAB = ∠CAB2; ∠LBA = ∠CBA2.

4) ∆ABL: ∠ALB = 180° – (∠LAB + ∠LBA) = 180° – (∠СAB2 + ∠СBA2) = 180° – ∠СAB + ∠СBA2 = 180° – 90°2 = 180° – 45° = 135°.

5) ∠NLA = 180° – ∠ALB = 180° – 135° = 45°.

Відповідь. 45°.

26. У прямокутному трикутнику катет завдовжки 24 см прилягає до кута 30°. Знайдіть бісектрису другого гострого кута трикутника.

1) За умовою у ∆ABC: ∠C = 90°; ∠B = 30°; BC = 24 см.2) ∠CAK = ∠KAB = 60°2 = 30°.3) Позначимо AK = х см.

4) У ∆AKB: ∠KAB = ∠B = 30°. Тому ∆ABK – рівнобедрений з основою AB. Отже, KB = AK = х см.

5) У ∆АСК, за властивістю катета, що лежить проти кута 30°: СК = АК2 = х2.

6) СВ = СК + КВ; 24 = х2 + х; 3х2 = 24; х = 16 (см).

Відповідь: 16 см.

27. Кут при вершині рівнобедреного трикутника дорівнює 120°, а висота, проведена до бічної сторони, — а см. Знайдіть основу трикутника.

1) У ∆ABC: AB = BC; ∠ABC = 120°.CK – висота ∆ABC; CK = а см.2) ∠А = 180° - 120°2 = 60°2 = 30°.3) У ∆AKC за властивістю катета, що лежить проти кута 30°, маємо AC = 2 ∙ CK = 2а (см).

Відповідь: 2а см.

28. Медіана, проведена до гіпотенузи прямокутного трикутника,

дорівнює 10 см і ділить прямий кут у відношенні 1 : 2. Знайдіть гіпотенузу та менший катет трикутника.

1) У ∆ABC: ∠C = 90°; CM – медіана; ∠ACM : ∠MCB = 1 : 2. Позначимо ∠ACM = х; ∠MCB = 2х.2) х + 2х = 90°; Зх = 90°; х = 30°. Тоді ∠ACM = 30°; ∠MCB = 60°.3) За властивістю медіани, проведеної до гіпотенузи, CM = АВ2.

В той самий час AM = MB = АВ2. Тому CM = MB, а отже,

∠MBC = 60° і MB = CM = 10 (см).

4) AB = 2 ∙ MB = 2 ∙ 10 = 20 (см).

5) У ∆CKB: ∠CBM = 180° – 2 ∙ 60° = 60°.

Тому ∆CMB – рівносторонній.

CB = CM = 10 (см).

Відповідь. 20 см; 10 см.

29. Доведіть, що в нерівнобедреному прямокутному трикутнику

бісектриса прямого кута ділить кут між висотою і медіаною, проведеними з тієї самої вершини, навпіл.

1) Нехай у трикутнику ABC: ∠C = 90°; ∠A = α; ∠B < ∠A. Тому α > 45°.2) CM — медіана ∆ABC; CL — бісектриса ∆ABC; CK — висота ∆ABC.3) У ∆CKA: ∠KCA = 90° – α.4) ∠LCA = 90°2 = 45°.

5) ∆CМA — рівнобедрений, оскільки CM = АВ2 і AM = АВ2.

Тому ∠МCA = α.

6) ∠MCL = ∠MCA – ∠LCA = α – 45°.

7) ∠LCK = ∠LCA – ∠KCA = 45° – (90° – α) = α – 45°.

8) Отже, ∠MCL = ∠LCK, а тому бісектриса CL ділить кут між висотою

CK і медіаною CМ навпіл, що й треба було довести.

30. Дві сторони трикутника дорівнюють 5 см і 8 см. Чи може третя сторона трикутника дорівнювати: 1) 2 см; 2) 3 см; 3) 6 см; 4) 10 см; 5) 13 см; 6) 15 см?

Оскільки а = 5 см; b = 8 см, то 8 – 5 < с < 8 + 5 ;3 < с < 13.

Відповідь. 1), 2), 5), 6) Ні; 3), 4) так.

31. Дві сторони трикутника дорівнюють 5,2 см і 8,7 см. Якому найменшому цілому числу сантиметрів може дорівнювати третя сторона і якому найбільшому?

Нехай а = 5,2 см; b = 8,7 см, тоді 8,7 – 5,2 < с < 8,7 + 5,2;

3,5 < с < 13,9.

Отже, найменше с = 4 см, найбільше — с = 13 см.

Відповідь. 4 см; 13 см.

32. На сторонах AB і AC трикутника ABC позначено точки D і Е, причому точка D — середина AB. AE = 6 см, DE = 4 см. Чи може довжина сторони AB дорівнювати 21 см?

1) Припустимо, що AB = 21 см, тоді AD = 212 = 10,5 (см).2) Але в цьому випадку AE + ED < AD (6 + 4 < 10,5), тому наше припущення хибне.3) Сторона AC не може дорівнювати 21 см.

Відповідь. Ні.

33. Знайдіть сторону рівнобедреного трикутника, якщо дві інші сторони дорівнюють: 1) 4 см і 7 см; 2) 5 см і 2 см; 3) 12 см і 6 см.

Нехай бічні сторони рівнобедреного трикутника дорівнюють а см і b см, а основа с см. В кожній із задач треба розглянути два випадки.1) І–й випадок, а = 4 см; с = 7 см. Тоді b = а = 4 см.

Трикутник можливий 4 + 4 > 7.

ІІ–й випадок, а = 7 см; с = 4 см. Тоді b = а = 7 см. Трикутник можливий.

2) І–й випадок, а = 5 см; с = 2 см. Тоді b = а = 5 см. Трикутник можливий.

ІІ–й випадок, а = 2 см; с = 5 см. Тоді b = а = 2 см. Оскільки

2 + 2 < 5, то трикутник неможливий.

3) І–й випадок, а = 12 см; с = 6 см. Тоді b = а = 12 см. Трикутник можливий.

ІІ–й випадок, а = 6 см; с = 12 см. Тоді b = а = 6 см. Трикутник неможливий, бо 6 + 6 = 12.

Відповідь. 1) 4 см або 7 см; 2) 5 см; 3) 12 см.

34. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 51 см, а дві його сторони відносяться як 3 : 7. Знайдіть сторони трикутника.

Нехай а см і b см — бічні сторони, а с см — основа рівнобедреного трикутника.Треба розглянути два випадки.І випадок, а : с = 3 : 1, позначимо а = Зх см, с = 7x см.

Тоді b = а = Зх см. Цей випадок неможливий, оскільки

Зх + Зх < 7х.

II випадок. с : а = 3 : 1, позначимо с = Зх см, а = 7x см.

Тоді b = а = 7x см.

Цей випадок можливий. Маємо Зх + Зх + 7x = 51; 17х = 51;

х = 51 : 17; х = 3 (см).

Тоді a = b = 13 = 21 (см); с = 3 ∙ 3 = 9 (см).

Відповідь. 21 см; 21 см; 9 см.