Відповіді на вправи ЧАСТИНА 1: 31.18

31.18. Накресліть прямокутник розміром 4x6 клітинок. Покажіть, як «замостити» (покрити без накладань і вільних клітинок) його куточками, кожний з яких складається з трьох клітинок, так, щоб жодні два з них не утворювали прямокутника.

Один з можливих розв’язків задачі подано на малюнку.

Домашня самостійна робота №6 (§26 – §31)

1. Дано ΔKLM, у якого KM = 4 см, ML = 7 см, KL = 10 см. Знайдіть його периметр.

P = 4 + 7+ 10 = 21 (см).

Відповідь. Б) 21 см.

2. ΔPTK — різносторонній, ΔABC = ΔPTK. Тоді справедлива рівність ∠B = ...

Відповідь. Б) ∠T.

3. Дано ΔABC і ΔA₁B₁C₁, де AB =A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁. Тоді...

Відповідь. Б) ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (за другою ознакою).

4. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 17 см, а його

основа — 5 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

(17 – 5 ) : 2 = 6 (см).

Відповідь. Г) 6 см.

5. На малюнку LO = ON, KO = ОМ, ∠KOL ≠ ∠LOM. Укажіть правильну рівність.

∠KOL = ∠MON (як вертикальні), тому ∆KOL = ∆MON (за першою

ознакою).

Відповідь. В) ∆KOL = ∆MON.

6. AM, BN і CL — медіани трикутника ABC. Яка з них є ще й бісектрисою і висотою, якщо ∠A = ∠B , a ∠B ≠ ∠C?

Оскільки ∠A = ∠B, то ∆ABC — рівнобедрений з основою AB. Тому медіана CL є також бісектрисою і висотою.

Відповідь. В) CL.

7. Одна зі сторін трикутника вдвічі менша за другу і на 2 см менша за третю. Знайдіть більшу зі сторін трикутника, якщо його периметр дорівнює 22 см.

1) Нехай AB = х см, тоді AC = 2х см і BC = (х + 2) см.2) За умовою х + 2х + х + 2 = 22; 4х = 22 – 2; 4х = 20; х = 5 (см).3) Тому BC = 5 + 2 = 7 (см); AC = 2 ∙ 5 = 10 (см).Відповідь. Г) 10 см.

8. Відомо, що ∆KLM = ∆MLK. Знайдіть периметр трикутника KLM, якщо KL = 6 см, KM = 5 см.

Оскільки ∆KLM = ∆MLK, то KL = ML і ∠K = ∠M.Відповідь. А) 17 см.

9. BK — висота трикутника ABC, AB = BC. Укажіть неправильне

твердження.

Оскільки у ∆ABC AB = BC, то BK є не тільки висотою, а й медіаною і бісектрисою. Тому твердження ∠BAC = ∠BCA; ∆BAK = ∆BCK і ∠ABK = ∠CBK — правильні, а твердження ∠ABC = ∠BKA — хибне, оскільки кут ABC — гострий, а кут BKA — прямий.Відповідь. A) ∠ABC = ∠BKA.

10. Дано: ∆ABC = ∆BCA, AB = 5 см. Знайти: BC, CA.

Оскільки ∆ABC = ∆BCA, то ∠A = ∠B і ∠B = ∠C, тобто ∠A = ∠B = ∠C.

Тому ∆ABC — рівносторонній і BC = CA = AB = 5 см.

Відповідь. Г) BC = 5 см; CA = 5 см.

11. AB — основа рівнобедреного трикутника ABC, CK — його

бісектриса. Знайдіть довжину цієї бісектриси, якщо периметр

трикутника ABC дорівнює 36 см, а периметр трикутника ACK

дорівнює 30 см.

1) Оскільки CK — бісектриса рівнобедреного трикутник, що проведена до основи, то CK є також і медіаною. Отже, AK = KB.2) За умовою AC = CB.3) P∆ABC = AC + AB + CB = 2АС + 2AK = 2(AC + AK). Тому AC + AK = 362 = 18 (см).

4) P∆AСК AC + AK + CK. Тому CK = 30 – 18 = 12 (см).

Відповідь. Г) 12 см.

12. У трикутнику ABC AB = АС. Точка M така, що BM = MC. Укажіть неправильне твердження.

1) BM = MC, тому ∠MBC = ∠MCB.2) Оскільки AB = AC; BM = MC (за умовою) і AM – спільна сторона трикутників ABM і ACM.Тому ∆ABM= ∆ACM (за третьою ознакою).3) Маємо ∠BAM = ∠САМ; ∠BMA = ∠CMA і ∠MBA = ∠MCA.

4) Твердження ∠MBA > ∠MCA — хибне.

Відповідь. Б) ∠MBA > ∠MCA.

13. Периметр трикутника ABC дорівнює 37 см, AB : BC = 2 : 3, AC – AB = 2 см. Установіть відповідність між сторонами трикутника (1–3) та їхніми довжинами (А–Г).

1) Нехай х – АС; АВ – х – 2; ВС – 32(х – 2).

х + х – 2 + 32(х – 2) = 37;

2х – 2 + 1,5х – 3 = 37;

3,5х – 5 = 37;

3,5х = 42;

х = 12 (см) – АС.

2) 12 – 2 = 10 (см) – АВ.

3) 37 – (12 + 10) = 37 – 22 = 15 (см) – ВС.

1. АВ – А. 10 см; 2. ВС – В. 15 см; 3. СА – Б. 12 см.

Завдання для перевірки знань до (§26 – §31)

1. Накресліть трикутник MNK. Запишіть назви його вершин, сторін та кутів.

Вершини — точки М; N і K; сторони — відрізки MN; NK і MK; кути трикутника — AM; AN; AK.

2. Який із зображених на малюнку 1 трикутників є гострокутним, який — прямокутним, а який — тупокутним?

Гострокутний — ∆ABC; прямокутний — ∆MKN; тупокутний — ∆PQR.

3. Який із зображених на малюнку 2 трикутників є рівнобедреним, який — рівностороннім, а який — різностороннім?

Рівнобедрений — ∆ABK; рівносторонній — ∆CDM; різносторонній ∆FPM.

4. ΔABC = ΔKMF. Відомо, що AB = 5 см, BC = 4 см, KF = 7 см. Знайдіть невідомі сторони трикутників ABC і KMF.

∆ABC = ∆KMF, тому KM = AB = 5 см; MF = BC = 4 см; AC = KF = 7 см.

5. На малюнку 3 MK = KN, ∠LKM = ∠LKN. Доведіть, що ΔMKL = ΔNKL.

MK = KN; ∠LKM = ∠LKN (за умовою); LK – спільна сторона трикутників MKL і NKL. Тому ∆MKL = ∆NKL (за першою ознакою).

6. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника з основою завдовжки 12 см, бічна сторона якого на 3 см більша за основу.

1) 12 + 3 = 15 (см) — бічна сторона трикутника;

2) P = 2 ∙ 15 + 12 = 42 (см).

Відповідь. 42 см.

7. На малюнку 4 AC = BD, BC = AD. Доведіть, що ∠BCD = ∠ADC.

1) AC = BD; DC = AD; CD — спільна сторона трикутників ACD і BDC. Тому ∆ACD = ∆BDC (за третьою ознакою).

2) Звідси отримаємо, що ∠BCD = ∠ADC, що й треба було довести.

8. Одна сторона трикутника вдвічі менша від другої і на 3 см менша від третьої. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 23 см.

1) Нехай AB = х см, тоді BC = 2х см і AC = (х + 3) см.2) Маємо рівняння: x + 2x + x + 3 = 23; 4х = 23 – 3; 4х = 20; х = 5.3) Отже, AB = 5 см; BC = 2 ∙ 5 = 10 (см); AC = 5 + 3 = 8 (см).

Відповідь. 5 см; 10 см; 8 см.

9. У рівнобедреному трикутнику KML з основою KL проведено медіану MP. Знайдіть периметр трикутника KML, якщо MP = 8 дм, а периметр трикутника MKP дорівнює 24 дм.

1) MP = 8 дм; P∆МКР = KM + KP + PM; P∆МКР = 24 (дм), тому KM + KP= 24 – 8 = 16 (дм).2) Оскільки ∆KML — рівнобедрений з основою KL, τo KM = ML.3) MP – медіана ∆KML, тому KP = PL.4) P∆KML = KM + ML + KL = 2KM + 2KP = 2(KM + KP) = 2 ∙ 16 = 32 (дм).

Відповідь. 32 дм.

10. На малюнку ∆ANB = ∆AMB. Доведіть, що NC = MC.

1) Оскільки ∆ANB = ∆AMB, то AN = AM і ∠NAB = ∠MAB.

2) AC — спільна сторона трикутників ANC і AMC. ∆ANC = ∆AMC (за

першою ознакою).

3) Звідси отримаємо, що NC = MC, що й треба було довести.

11. Відомо, що ΔMKL = ΔKLM. Знайдіть периметр трикутника MKL, якщо він на 10 см більший за сторону MK.

1) Оскільки ∆MKL = ∆KLM, то ∠M = ∠K і ∠K = ∠L. Тому

∠M = ∠K = ∠L.

Тобто трикутник MKL — рівносторонній.

2) Позначимо MK = KL = ML = х (см). Тоді P∆MКL = Зх.

3) За умовою Зх – х = 10; 2х = 10; х = 5 (см).

4) P∆MКL = 3 ∙ 5 = 15 (см).

Відповідь. 15 см.

ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ ТЕМИ 6

1. Накресліть прямокутний трикутник KLP. Запишіть назви вершин, сторін та кутів цього трикутника.

Вершини — точки К; Р; L; сторони — відрізки KP; PL; KL; кути – ∠К; ∠P; ∠L.

2. Одна сторона трикутника дорівнює 18 см, друга сторона на 6 см більша за першу, а третя сторона вдвічі менша від другої. Знайдіть периметр трикутника.

1) 18 + 6 = 24 (см) — друга сторона.

2) 24 : 2 = 12 (см) — третя сторона.

3) P = 18 + 24 + 12 = 54 (см).

Відповідь. 54 см.

3. За допомогою транспортира та лінійки з поділками накресліть ΔMLP, у якого ML = 5 см, ∠M = 40°, ∠L = 80°.

План побудови.1) Відкладаємо відрізок ML = 5 см на прямій.2) ∠AML = 40°.3) ∠BLM = 80°.4) Промені MA і LB перетинаються в точці Р.5) ∆LMP — шуканий.

4. Одна сторона трикутника вдвічі менша від другої, а третя — складає 80 % від другої. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 46 см.

1) Нехай AB = х см, тоді AC = 2x см,a BC = 0,8 ∙ 2х = 1,6х см.2) Маємо х + 2x + 1,6х = 46; 4,6 х = 46; х = 46 : 4,6; х = 10 (см).3) Отже, AB = 10 см; AC = 2 ∙ 10 = 20 (см);BC = 1,6 ∙ 10 = 16 (см).

Відповідь. 10 см; 20 см; 16 см.

5. Знайдіть сторони трикутника ABC, якщо AB + AC = 12 см, AC + CB = 15 см, AB + BC = 13 см.

1) Додомо почлено ліві і праві частини рівнянь AB + AC + AC + CB + AB + BC = 12 + 15 + 13; 2AB + 2AC + 2ВС = 40; 2(AB + AC + BC) = 40; AB + AC + BC = 40 : 2; AB + AC + BC = 20 (см).

2) Оскільки AB + AC + BC = 20 см, a AB + AC = 12 см, то

BC = 20 – 12 = 8 (см).

3) AB = 20 – 15 = 5 (см).

4) AC = 20 – 13 = 7 (см).

Відповідь. BC = 8 см; AB = 5 см; AC = 7 см.

6. 1) Сторони трикутника дорівнюють 3 см, 7 см і 8 см. Знайдіть сторони рівного йому трикутника. 2) Кути трикутника дорівнюють 40°, 60° і 80°. Знайдіть кути рівного йому трикутника.

1) 3 см; 7 см; 8 см; 2) 40°; 60°; 80°.

7. Чи можна сумістити накладанням вертикальні кути?

Так, бо вони рівні.

8. Чи можуть бути рівними трикутники, найбільші сторони яких не є рівними?

Ні.

9. Дано: ΔABC = ΔACB, AB = 7 см, BC = 4 см. Знайти: P_ABC

Оскільки ∆ABC = ∆ACB, то ∆B = ∆C, а тому AB = АС.

P∆АВС = AB + AC + BC = 7 + 7 + 4 = 18(см).

Відповідь. 18 см.

10. Назвіть спільний елемент трикутників, зображених на малюнках 1 та 2, і ознаку, за якою ці трикутники рівні.

На мал. 1 трикутники ABC і ABD мають спільну сторону AB.

∆ABC = ∆ABD (за першою ознакою).

На мал. 2 трикутники MNK і NMP мають спільну сторону MN.

∆MNK = ∆NMP (за другою ознакою).

11. Доведіть, що ΔAOD = ΔCOB (мал. 3), якщо AO = CО, DO = OB.

AO = ОС; OD = OB (за умовою), ∠AOD = ∠COB (як вертикальні). Тому ∆AOD = ∆COB (за першою ознакою), що й треба було довести.

12. Доведіть, що ΔMKN = ΔMPN (мал. 4), якщо ∠KMN = ∠PMN і ∠KNM = ∠PNM.

∠KMN = ∠PMN, ∠KNM = ∠PNM (за умовою), MN — спільна сторона

трикутників MKN і MPN. Тому ∆MKN = ∆MPN (за другою ознакою),

що й треба було довести.

13. На малюнку 5 ∠МАВ = ∠РDС, ВА = CD, AK = KD. Доведіть, що BK = KC.

1) Оскільки ∠MAB = ∠PDC, то ∠BAK = ∠CDK (як кути, суміжні до рівних кутів).

2) BA = CD, AK = KD (за умовою), ∠BAK = ∠CDK. Тому ∆BAK = ∆CDK

(за першою ознакою).

3) Маємо звідси, що BK = KC, що й треба було довести.

14. Щоб знайти відстань від пункту А до недосяжного пункту X (мал. 6), на березі позначають точки B i C так, щоб ∠XAB = ∠CAB і ∠XBA = ∠CBA. Тоді AX = АС. Чому?

1) AB — спільна сторона трикутників ABC і ∠XAB = ∠CAB; ∠XBA = ∠CBA (за умовою). Тому ∆ABX = ∆ABC (за другою ознакою).

2) Оскільки ∆ABX = ∆ABC, то AX = АС.

15. На малюнку 7 зображено фігуру, у якої BC = EF, AD = CF, ∠BCF = ∠EFK. Доведіть, що ΔABC = ΔDEF.

1) Оскільки ∠BCF = ∠KFE, то ∠BCA = ∠DFE (як кути, суміжні до рівних кутів).

2) AC = AD + DC; FD = FC + CD. Оскільки AD = CF, то й AC = FD.

3) Оскільки ∠BCA = ∠DFE; BC – EF (за умовою) і AC = FD, то

∆ABC = ∆DEF, що й треба було довести.

16. На сторонах кута А позначено точки B і C так, що AB = АС. DC ⊥ AE, BE ⊥ AD (мал. 8). Доведіть, що: 1) BD = СЕ; 2) AO — бісектриса кута А.

1. 1) Кут А — спільний кут трикутників ABE і ACD.

2) ∠ABE = ∠ACD = 90°; AB = AC (за умовою). ∆ABE = ∆ACD (за другою ознакою). Тому ∠E = ∠D і AE = AD.

3) Оскільки AB = AC і AD = AE, то AD – AB = AE – АС, тому BD = СЕ.

2. 1) ∠DBO = ∠ECO = 90°; ∠D = ∠E; BD = СЕ. Тому ∆DBO = ∆ECO (за другою ознакою). Звідси отримаємо, що BO = CO.

2) AB = AC; BO = ОС; ∠ABO = ∠ACO = 90°, тому ∆ABO = ∆ACO (за першою ознакою). Звідси: ∠BAO = ∠CAO, а тому AO — бісектриса кута А.

Задачу доведено.

17. AK — основа рівнобедреного трикутника АКР. 1) AP = 5 см. Знайдіть PK. 2) ∠A = 70°. Знайдіть ∠К.

1) PK = AP = 5 см.

2) ∠K = ∠A = 70°.

18. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 5 см, а бічна сторона — 4 см. Знайдіть периметр трикутника.

P = 2 ∙ 4 + 5 = 13 (см).

19. На малюнку 20.9 AB = AD, ∠ВАС = ∠CAD. Доведіть, що ΔBCD — рівнобедрений.

1) AB = AD; ∠BAC = ∠CAD; AC — спільна сторона трикутників ABC

і ADC. ∆ABC = ∆ADC (за першою ознакою).

2) Тому BC = DC, а отже, ∆BCD — рівнобедрений, що й треба було довести.

20. Основа і прилеглий до неї кут одного рівнобедреного трикутника відповідно дорівнюють основі та прилеглому до неї куту іншого рівнобедреного трикутника. Чи будуть рівними між собою ці трикутники?

1) Нехай ABC і A1B1C1 — рівнобедрені трикутники з основами AB і A1B1 відповідно. За умовою AB = A1B1 і ∠A = ∠A1.2) Оскільки ∠A = ∠B; ∠A1 = ∠B1 і ∠A = ∠A1, то ∠B = ∠B1.

3) AB = A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁,

тому ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (за другою ознакою).

Відповідь. Так.

21. Основа та бічна сторона рівнобедреного трикутника відносяться як 3 : 4. Знайдіть сторони цього трикутника, якщо його периметр дорівнює 88 см.

1) Нехай трикутник ABC — рівнобедрений з основою AB. Оскільки AB : AC = 3 : 4, то можна позначити AB = 3x см; AC = CB = 4х см.2) За умовою Зх + 4х + 4х = 88; 11x = 88; х = 88 : 11; х = 8 (см).3) Отже, AB = 3 ∙ 8 = 24 (см); AC = CB = 4 ∙ 8 = 32 (см).

Відповідь. 24 см; 32 см; 32 см.

22. ΔABC і ΔABD рівнобедрені зі спільною основою AB. Точки C і D лежать по різні боки від прямої AB. Доведіть, що ΔACD = ΔBCD.

1) Трикутник ABC — рівнобедрений з основою AB, тому ∠CAB = ∠CBA.2) Трикутник ABD — рівнобедрений з основою AB, тому ∠BAD = ∠DBA.3) Оскільки ∠CAB = ∠CBA і ∠BAD = ∠DBA, то ∠CAD = ∠CBD4) AC = BC; AD = BD; ∠CAD = ∠CBD. Тому ∠ACD = ∆BCD (за першою ознакою), що й треба було довести.

23. Як називають у трикутнику: 1) відрізок, що сполучає його вершину із серединою протилежної сторони; 2) перпендикуляр, проведений з його вершини до прямої, що містить протилежну сторону; 3) відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину трикутника з точкою протилежної сторони?

1) Медіана; 2) висота; 3) бісектриса.

24. Бісектриса рівнобедреного трикутника, проведена до основи, дорівнює 5 см. Знайдіть висоту цього трикутника, проведену до основи; медіану цього трикутника, проведену до основи.

І висота, і медіана, що проведені до основи цього трикутника також дорівнюють по 5 см.

25. На малюнку 10 відрізок NK — медіана рівнобедреного трикутника MNL з основою ML. Запишіть три пари рівних кутів і дві пари рівних відрізків, що є на цьому малюнку.

∠M = ∠L; ∠∕MNK = ∠LNK; ∠MKN = ∠LKN; MN = NL; MK = KL.

26. AM і A₁M₁ — відповідно медіани рівних між собою трикутників ABC і A₁B₁C₁ . Доведіть, що ∆ABM = ∆A₁B₁M₁.

1) Нехай ∆ABC = ∆A1B1C1; AMі A1M1 — медіани трикутника.2) Оскільки ∆ABC = ∆A1B1C1, то AB = A1B1, ∠B = ∠B1 і BC = B1C1.

3) BM = B₁M₁ (як половини рівних відрізків)

4) ∆ABM = ∆A₁B₁M₁ (за першою ознакою), що й треба було довести.

27. Доведіть, що в рівнобедреному трикутнику будь–яка точка проведеної до основи висоти, рівновіддалена від кінців основи трикутника.

1) Нехай трикутник ABC — рівнобедрений з основою AC; BM – висота трикутника; K ∈ BM.2) Оскільки BM — висота рівнобедреного трикутника, що проведена до основи, то BM є також і медіаною. Тому AM = MC.3) ∠AMK = ∠CMK = 90°; MK – спільна сторона трикутників AMK і CMK. ∆AMK = ∆CMK (за першою ознакою). Тому AK = KC, що й треба було довести.

28. На малюнку 11 ∠ABD = ∠ADB, ∠CBD = ∠CDB. Доведіть, що BD ⊥ АС.

1) Оскільки ∠ABD = ∠ADB, то трикутник ABD — рівнобедрений, тому AB = AD.

2) Оскільки ∠DBC = ∠CDB, то трикутник BCD — рівнобедрений, тому BC = CD.

3) ∠ABD = ∠ADB, ∠DBC = ∠CDB, тому ∠ABC = ∠ADC.

4) ∆ABC = ∆ADC (за першою ознакою). Тому ∠BAC = ∠DAC.

5) AK — бісектриса рівнобедреного трикутника, що проведена до основи, тому AK є також і висотою. Тому ∠AKB = 90° і BD ⊥ АС, що й треба було довести.

29. У рівнобедреному трикутнику ABC AB = BC = а см. З точки M — середини AB — проведено перпендикуляр до AB, який перетинає BC в точці K (мал. 12. Знайдіть довжину сторони AC та периметр трикутника ABC, якщо периметр трикутника AKC дорівнює b см (b > а).

1) У трикутнику ABK відрізок MK є одночасно висотою і медіаною,

тому, враховуючи результат задачі №365, отримаємо, що ∆ABK– рівнобедрений і AK = KB.

2) За умовою P∆АКС = b, AK + KC + AC = b. Але AK = KB, тому KB + KC + AC = b; BC + AC = b; а + AC = b; AC = b – a.

3) P∆АВС = 2AB + AC = 2a + b – a = a + b.

Відповідь. AC = b – a; P = а + b.

30. Доведіть, що ΔABC = ΔCDA (мал. 13), якщо AB = CD, BC = AD.

AC — спільна сторона трикутників ABC і CDA. AB = CD; BC = AD умовою). Тому ∆ABC = ∆CDA (за третьою ознакою), що й треба було довести.

31. Сторона одного рівностороннього трикутника дорівнює стороні іншого рівностороннього трикутника. Чи можна стверджувати, що трикутники рівні між собою?

Оскільки трикутники ABC і A₁B₁C₁ рівносторонні і AB = A₁B₁, то AC = A₁C₁ і BC = B₁C₁. Тому ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (за третьою ознакою).

Відповідь. Так.

32. Доведіть рівність трикутників за двома сторонами та медіаною, проведеною до однієї з них.

1) Нехай задано трикутники ABC і A1B1C1. За умовою: AB = A1B1 і AC = A1C1.2) BM і B1M1– медіани. За умовою: BM = B1M1.

3) AM = A₁M₁ (як половини рівних відрізків).

4) ∆ABM = ∆A₁B₁M₁ (за третьою ознакою). Тому ∠A = ∠A₁.

5) AB = A₁B₁; AC = A₁C₁; ∠A = ∠A₁. Тому ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (за першою ознакою), що й треба було довести.