Контрольні роботи. ВАРІАНТ 2: Кр.6 (6.2)

6*. Якщо в трикутнику ABC медіана CM дорівнює половині сторони AB, то кут C — прямий. Доведіть.

Дано: ∆АВС, СМ – медіана; СМ = $\frac{1}{\mathrm{2АВ}}$;

Довести: ∠С = 90°.

Доведення: 1) ∆АВС : СМ – медіана, тоді АМ = ВМ = СМ (за умовою);

2) ∆ВСМ – р.б.: СМ = МВ, тоді ∠МСВ = ∠МВС = x, a ∠CBM = 180° – 2x (за властивістю кутів трикутника);

3) ∠СМВ + ∠СМА = 180°, тоді ∠СМА = 180° – (180° – 2x) = 2x;

4) ∆AMC – р.б.: МС = АМ, тоді ∠МСА = ∠МАС = (180°-∠СМА)/2 = 90° – x;

5) ∠C = ∠ACM + ∠MCB = 90° – x + x = 90°. Доведено.