Вправи: 853

853. Історична задача (Стародавня Греція, V ст. до н. е.). За допомогою циркуля й лінійки поділити даний довільний кут на три рівні частини. Архімед розв’язував цю задачу за допомогою «вставки». Нехай a — даний кут. Опишемо з вершини кута коло радіуса a, де a — відстань між позначками на лінійці (мал. 21.13, а). Через точку P проведемо пряму так, щоб довжина відрізка між точками B і A дорівнювала a. Одержимо ∠OAB = β. Скориставшись малюнком 21.13, б, доведи, що за цих умов α = 3β.

Довести: α = 3β.

Доведення

За властивістю зовнішнього кута:

∠ВОМ = ∠А + ∠АВО;

γ + α = β + (180° – 2β);

γ + α = 180° – β;

α = 180° – β – γ;

α = 180° – β – (180° – 4β);

α = 180° – β – 180° + 4β;

α = 3β.