Повторення вивченого: 97

97. Дано трикутник ABC і точки E i F такі, що середина відрізка BE збігається із серединою сторониАС, а середина відрізка CF — із серединою сторони AB. Доведіть, що точки E, F i А лежать на одній прямій.

За умовою, BM = МЕ, АМ = MC, CN = NF, BN = NA. Oскільки CN = NF, BN = NA, ∠FNA = ∠CNB, то ∆FNA = ∆CNB за двома сторонами та кутом між ними звідки ∠FAN = ∠NBC; так як BM = ME, AM = MC, ∠BMC = ∠EMA, то ∆AME = ∆CMB за двома сторонами та кутом між ними, звідки ∠MAE = ∠MCB. Tоді ∠FAN + ∠NAM + ∠MAE = ∠NBC + ∠NAM + ∠MCB = 180° як сума кутів трикутника. Oскільки сума кутів дорівнює 180°, то вони утворюють розгорнутий кут тобто точки F, A та E лежать на одній прямій.