Вправи: 766

766. Із точок A l В, які лежать в одній півплощині відносно

прямої m, опущено на цю пряму перпендикуляри AC і BD відповідно. Точки A i B рівновіддалені від прямої m, точка O — середина відрізка CD. Доведіть, що трикутник AOB рівнобедрений.

Дано: пряма m. А і В знаходяться в одній півплощині відносно m. AC ⊥ BD ⊥ m, AC = BD. O — середина CD.

Довести: ∆AOB — рівнобедрений.

Доведення: За умовою AC ⊥ m, тоді

∠ACO = 90°. Аналогічно BD ⊥ m, тоді

∠BDO = 90°. O — середина CD, тоді CO = OD.

Розглянемо ∆АСО і ∆BDO — прямокутні.

∠ACO = ∠BDO = 90°; AC = BD; CO = OD.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆АСО = ∆BDO.

Звідки маємо: AO = BO, отже, ∆AOB — рівнобедрений.

Доведено.