Вправи: 743

743. Побудуйте трикутник за стороною, висотою, проведеною до цієї сторони, і медіаною, проведеною до однієї з двох інших сторін.

Дано: сторони а, Ь; висота h_a, медіана m_с.

Побудувати: трикутник за стороною та медіаною,

проведеною до третьої сторони, та висотою, проведеною до цієї сторони.

Побудова:

1) Позначаємо довільну точку А.

2) Будуємо через точку А довільну пряму х.

3) Будуємо дугу з центром в точці А і радіусом а.

4) Позначаємо точку перетину прямої х та дуги C.

5) Поділимо сторону b навпіл. Отримаємо відрізок довжиною 12h_a.

6) Будуємо пряму m, яка знаходиться на відтині 12h_a від сторони AC (m ∥ AC). 7) Будуємо пряму C₁, яка знаходиться на відстані 12h_a від прямої m (m ∥ ι). 8) Будуємо коло з центром в точці А радіусом m_с.

9) Позначимо точку перетину прямої m та кола Е. 10) Будуємо пряму EC. 11) Позначаємо точку перетину прямих EX і ι В. 12) Будуємо ∆АВС. ∆ABC — шуканий трикутник.

Доведення: Проведемо з точок В і А перпендикуляри до прямої m BB₁ ⊥ m; CC₁ ⊥ m; BB₁ =CC₁ = 12h_a. Розглянемо ∆BB₁E і ∆CC₁E — прямокутні. ∠BB₁E = ∠AA₁E = 90°. ∠BEB₁ = CEC₁ (вертикальні). BB₁ = CC1 = 12h_a.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆BB₁E = ∆CC₁E.

Звідси маємо: C₁E = B₁E, отже, E — середина відрізку BC.

AE медіана ∆АВС. AE = mс; CC₁ + BB₁ = 12h_a + 12h_a = h^a.

BN = BB₁ + CC₁ = h_a. AC = а (за побудовою).

В залежності від кількості точок перетину кола з прямою задача може мати від двох розв’язків до жодного.

Якщо m_c > 12h_a — розв’язків два. Якщо m_c = 12h_a — розв’язок один.

Якщо m_с < 12h_а — розв’язків немає.