Вправи
Вправи: 736
Готова відповідь до завдання 736 з Геометрія 7 клас Мерзляк.
Геометрія, 7 клас · Вправи
Текстова відповідь
736. Побудуйте трикутник за стороною, прилеглим до неї кутом і різницею двох інших сторін.
Дано: а, d, кут α.
Побудувати: ∆ABC, у якому BC = а, ∠B = α; |AC – АВ| = d.
Задача має лише розв’язок коли d < а, тому що за нерівністю трикутника будь–яка сторона повинна бути більша, ніж різниця двох других сторін. Нехай побудовано ∆ABC. Розглянемо 2 випадки.
1) кут α — гострий.
Якщо AB > AC, d = AC. Відкладаємо на стороні AB відрізок BD = d,
тоді d = AB – AC.
AD = AB – BD; AD = AB – d = AB – (AB – AC) = AB – AB + AC = AC.
Тобто, А лежить на серединному перпендикулярі
до сторони CD.
Якщо АС > АВ, тоді відкладаємо на продовжені
сторони АВ відрізок BD = d.
d = AC – AB; AC = d + AB. AD = AB + BD = AB + d.
Отже, AD = AC, тому А буде належати серединному перпендикуляру
2) кут α — тупий.
AC > AB, тоді на продовжені сторони AB
відкладемо BD = d, тоді AD = AC.
А належить серединному перпендикуляру до сторони CD.
а) якщо α — гострий кут, d = AC – AB.
Будуємо кут В = α.
Відкладаємо на одній стороні кута BC = а, а на доповняльному промені до другої сторони кута BD = d.
Знайдемо точку A, побудувавши серединний перпендикуляр до сторони CD. Якщо AB = AD – DB = AC – d, тоді d = AC – AB, ∆ABC — шуканий.
б) якщо α — гострий кут d = AB – AC.
Будуємо кут В = α. Відкладаємо на одній стороні
кута BC = а, а на другій BD = d.
Знайдемо точку A, побудував серединний перпендикуляр до відрізку CD. Тому AB = d + AC, тоді d = AB – AC. Отже, ∆ABC — шуканий.
Якщо α' — тупий кут, тоді d = AC – AB.
З’ясуємо чи завжди задача має розв’язок.
І. а) У ∆BDC; ∠DBC — тупий (тому що α і ∠DBC —
суміжні) та BD < BC, тоді серединний перпендикуляр повинен перетинати сторону BC і сторону BA, тобто рішення повинно існувати,
б) Якщо ∠BDC ≤ 90°, тоді ∠CDA ≥ 90°. Тоді розв’язків немає. Задача має одне рішення.
II. У ∆BDC ∠CBD — гострий (α і ∠CBD — суміжні) а > d таким чином, якщо ∠BDC прямий або тупий, тоді серединний перпендикуляр до DC не перетинає сторону BA ∠CBA, тобто розв’язків немає. Якщо ∠DBC — гострий задача має єдиний розв’язок.