Вправи: 416

416. Накресліть прямокутник розміром 4x6 клітинок. Покажіть, як «замостити» (покрити без накладань і вільних клітинок) його куточками, кожний з яких складається з трьох клітинок, так, щоб жодні два з них не утворювали прямокутника.

Один з можливих розв’язків задачі подано на малюнку.

Домашня самостійна робота №3 (§11 – §16)

1. Дано ΔKLM, у якого KM = 4 см, ML = 7 см, KL = 10 см. Знайдіть його периметр.

P = 4 + 7+ 10 = 21 (см).

Відповідь. Б) 21 см.

2. ΔPTK — різносторонній, ΔABC = ΔPTK. Тоді справедлива рівність ∠B = ...

Відповідь. Б) ∠T.

3. Дано ΔABC і ΔA₁B₁C₁, де AB =A₁B₁, ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁.

Тоді...

Відповідь. Б) ∆ABC = ∆A₁B₁C₁ (за другою ознакою).

4. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 17 см, а його

основа — 5 см. Знайдіть бічну сторону трикутника.

(17 – 5 ) : 2 = 6 (см).

Відповідь. Г) 6 см.

5. На малюнку LO = ON, KO = ОМ, ∠KOL ≠ ∠LOM. Укажіть

правильну рівність.

∠KOL = ∠MON (як вертикальні), тому ∆KOL = ∆MON (за першою

ознакою).

Відповідь. В) ∆KOL = ∆MON.

6. AM, BN і CL — медіани трикутника ABC. Яка з них є ще й

бісектрисою і висотою, якщо ∠A = ∠B , a ∠B ≠ ∠C?

Оскільки ∠A = ∠B, то ∆ABC — рівнобедрений з основою AB. Тому медіана CL є також бісектрисою і висотою.

Відповідь. В) CL.

7. Одна зі сторін трикутника вдвічі менша за другу і на 2 см менша за третю. Знайдіть більшу зі сторін трикутника, якщо його периметр дорівнює 22 см.

1) Нехай AB = х см, тоді AC = 2х см і BC =(х + 2) см.2) За умовою х + 2х + х + 2 = 22; 4х = 22 – 2; 4х = 20; х = 5 (см).3) Тому BC = 5 + 2 = 7 (см); AC = 2 ∙ 5 = 10 (см).Відповідь. Г) 10 см.

8. Відомо, що ∆KLM = ∆MLK. Знайдіть периметр трикутника KLM, якщо KL = 6 см, KM = 5 см.

Оскільки ∆KLM = ∆MLK, то KL = ML і ∠K = ∠M.Відповідь. А) 17 см.

9. BK — висота трикутника ABC, AB = BC. Укажіть неправильне

твердження.

Оскільки у ∆ABC AB = BC, то BK є не тільки висотою, а й медіаною і бісектрисою. Тому твердження ∠BAC = ∠BCA; ∆BAK = ∆BCK і ∠ABK = ∠CBK — правильні, а твердження ∠ABC = ∠BKA — хибне, оскільки кут ABC — гострий, а кут BKA — прямий.Відповідь. A) ∠ABC = ∠BKA.

10. Дано: ∆ABC = ∆BCA, AB = 5 см. Знайти: BC, CA.

Оскільки ∆ABC = ∆BCA, то ∠A = ∠B і ∠B = ∠C, тобто ∠A = ∠B = ∠C.

Тому ∆ABC — рівносторонній і BC = CA = AB = 5 см.

Відповідь. Г) BC = 5 см; CA = 5 см.

11. AB — основа рівнобедреного трикутника ABC, CK — його

бісектриса. Знайдіть довжину цієї бісектриси, якщо периметр

трикутника ABC дорівнює 36 см, а периметр трикутника ACK

дорівнює 30 см.

1) Оскільки CK — бісектриса рівнобедреного трикутник, що проведена до основи, то CK є також і медіаною. Отже, AK = KB.2) За умовою AC = CB.3) P∆ABC = AC + AB + CB = 2АС + 2AK = 2(AC + AK). Тому AC + AK = 362 = 18 (см).

4) P∆AСК AC + AK + CK. Тому CK = 30 – 18 = 12 (см).

Відповідь. Г) 12 см.

12. У трикутнику ABC AB = АС. Точка M така, що BM = MC.

Укажіть неправильне твердження.

1) BM = MC, тому ∠MBC = ∠MCB.2) Оскільки AB = AC; BM = MC (за умовою) і AM – спільна сторона трикутників ABM і ACM.Тому ∆ABM= ∆ACM (за третьою ознакою).3) Маємо ∠BAM = ∠САМ; ∠BMA = ∠CMA і ∠MBA = ∠MCA.

4) Твердження ∠MBA > ∠MCA — хибне.

Відповідь. Б) ∠MBA > ∠MCA.

13. Периметр трикутника ABC дорівнює 37 см, AB : BC = 2 : 3, AC – AB = 2 см. Установіть відповідність між сторонами трикутника (1–3) та їхніми довжинами (А–Г).

1) Нехай х – АС; АВ – х – 2; ВС – 32(х – 2).

х + х – 2 + 32(х – 2) = 37;

2х – 2 + 1,5х – 3 = 37;

3,5х – 5 = 37;

3,5х = 42;

х = 12 (см) – АС.

2) 12 – 2 = 10 (см) – АВ.

3) 37 – (12 + 10) = 37 – 22 = 15 (см) – ВС.

1. АВ – А. 10 см; 2. ВС – В. 15 см; 3. СА – Б. 12 см.

Завдання для перевірки знань №3 (§11 – §16)

1. Накресліть трикутник MNK. Запишіть назви його вершин, сторін та кутів.

Вершини — точки М; N і K; сторони — відрізки MN; NK і MK; кути трикутника — AM; AN; AK.

2. Який із зображених на малюнку 16.14 трикутників є гострокутним, який — прямокутним, а який — тупокутним?

Гострокутний — ∆ABC; прямокутний — ∆MKN; тупокутний — ∆PQR.

3. Який із зображених на малюнку 16.15 трикутників є рівнобедреним, який — рівностороннім, а який — різностороннім?

Рівнобедрений — ∆ABK; рівносторонній — ∆CDM; різносторонній ∆FPM.

4. ΔABC = ΔKMF. Відомо, що AB = 5 см, BC = 4 см, KF = 7 см. Знайдіть невідомі сторони трикутників ABC і KMF.

∆ABC = ∆KMF, тому KM = AB = 5 см; MF = BC = 4 см; AC = KF = 7 см.

5. На малюнку 16.16 MK = KN, ∠LKM = ∠LKN. Доведіть, що ΔMKL =

ΔNKL.

MK = KN; ∠LKM = ∠LKN (за умовою); LK – спільна сторона трикутників MKL і NKL. Тому ∆MKL = ∆NKL (за першою ознакою).

6. Знайдіть периметр рівнобедреного трикутника з основою завдовжки 12 см, бічна сторона якого на 3 см більша за основу.

1) 12 + 3 = 15 (см) — бічна сторона трикутника;

2) P = 2 ∙ 15 + 12 = 42 (см).

Відповідь. 42 см.

7. На малюнку 16.17 AC = BD, BC = AD. Доведіть, що ∠BCD = ∠ADC.

1) AC = BD; DC = AD; CD — спільна сторона трикутників ACD і BDC. Тому ∆ACD = ∆BDC (за третьою ознакою).

2) Звідси отримаємо, що ∠BCD = ∠ADC, що й треба було довести.

8. Одна сторона трикутника вдвічі менша від другої і на 3 см менша від третьої. Знайдіть сторони трикутника, якщо його периметр дорівнює 23 см.

1) Нехай AB = х см, тоді BC = 2х см і AC = (х + 3) см.2) Маємо рівняння: x + 2x + x + 3 = 23; 4х = 23 – 3; 4х = 20; х = 5.3) Отже, AB = 5 см; BC = 2 ∙ 5 = 10 (см); AC = 5 + 3 = 8 (см).

Відповідь. 5 см; 10 см; 8 см.

9. У рівнобедреному трикутнику KML з основою KL проведено

медіану MP. Знайдіть периметр трикутника KML, якщо MP = 8 дм, а периметр трикутника MKP дорівнює 24 дм.

1) MP = 8 дм; P∆МКР = KM + KP + PM; P∆МКР = 24 (дм), тому KM + KP= 24 – 8 = 16 (дм).2) Оскільки ∆KML — рівнобедрений з основою KL, τo KM = ML.3) MP – медіана ∆KML, тому KP = PL.4) P∆KML = KM + ML + KL = 2KM + 2KP = 2(KM + KP) = 2 ∙ 16 = 32 (дм).

Відповідь. 32 дм.

10. На малюнку ∆ANB = ∆AMB. Доведіть, що NC = MC.

1) Оскільки ∆ANB = ∆AMB, то AN = AM і ∠NAB = ∠MAB.

2) AC — спільна сторона трикутників ANC і AMC. ∆ANC = ∆AMC (за

першою ознакою).

3) Звідси отримаємо, що NC = MC, що й треба було довести.

11. Відомо, що ΔMKL = ΔKLM. Знайдіть периметр трикутника MKL, якщо він на 10 см більший за сторону MK.

1) Оскільки ∆MKL = ∆KLM, то ∠M = ∠K і ∠K = ∠L. Тому

∠M = ∠K = ∠L.

Тобто трикутник MKL — рівносторонній.

2) Позначимо MK = KL = ML = х (см). Тоді P∆MКL = Зх.

3) За умовою Зх – х = 10; 2х = 10; х = 5 (см).

4) P∆MКL = 3 ∙ 5 = 15 (см).

Відповідь. 15 см.

§17. Сума кутів трикутника