Вправи: 819

819. Доведіть, що центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається із центром кола, вписаного в цей

трикутник.

1) Нехай ∆ABC — рівносторонній, AL і BK – бісектриси, що перетинаються в точці О. 2) Тоді точка О — центр вписаного кола. 3) У рівносторонньому трикутнику бісектриси є також висотами і медіанами, а тому й серединними перпендикулярами до сторін трикутника. 4) Отже, точка O — точка перетину серединних перпендикулярів до сторін трикутника. Тому точка

O — центр описаного кола.

5) Центр кола, описаного навколо рівностороннього трикутника, збігається з центром кола, вписаного в цей трикутник, що й треба було довести.