Вправи: 815

815. Центр кола, вписаного у трикутник, лежить на перетині двох медіан трикутника. Доведіть, що трикутник рівносторонній.

1) Нехай центр вписаного кола І лежить на перетині медіан AM і BK трикутника ABC. 2) Оскільки відомо, що центром кола, вписаного у трикутник, є точка перетину бісектрис цього трикутника, то AM є одночасно бісектрисою і медіаною; BK — так само. 3) Оскільки AM – бісектриса і медіана, то використовуючи наслідок

задачі №371, робимо висновок, що ∆ABC — рівнобедрений з основою BC. Тому AC = AB.

4) Оскільки BK – бісектриса і медіана, то аналогічно робимо висновок, що AB = BC.

5) Отже, AB = AC = BC, тобто ∆ABC – рівносторонній, що й треба було довести.