Вправи: 393

393. Доведіть, що коли медіана трикутника є його бісектрисою, то трикутник — рівнобедрений.

Примітка. Твердження задачі 371 можна вважати ознакою

рівнобедреного трикутника.

1) Нехай BK – медіана і бісектриса ∆ABC.2) Продовжимо BK за точку K на відстань відрізка BK (BK=KM).3) ∠AKB = ∠CKM(як вертикальні).4) ∆AKB = ∆CKM(за першою ознакою), тому ∠CMK = ∠ABK i AB = MC.5) Оскільки ∠ABK = ∠CBK i ∠CMK = ∠ABK, то ∠CBK= ∠CMK. Тому∆BCM– рівнобедрений (за ознакою) і BC = CM.6) AB = MC і BC = СМ, тому AB = BC, тобто

∆ABC — рівнобедрений, що й треба було довести.