Вправи: 736

736. Через точку M проведено дотичні MK і ME до кола із центром в точці О, де K і E — точки дотику, ∠OMK = 30°, M K = 6 см. Знайдіть довжину хорди КЕ.

Дано: коло з центром в точці О.

MK і MF дотична.

K i E — точки дотику. ∠OMK = 30°,

MK = 6 см.

Знайти: КЕ.

Розв’язання: За умовою MK і ME — дотичні.

За властивістю дотичних, проведених до кола з однієї точки маємо: MK = ME.

Виконаємо додаткову побудову: радіуси OK ⊥ OE.

За властивістю дотичної до кола маємо: OK ⊥ MK; OE ⊥ME.

Розглянемо ∆МОК і ∆MOE — прямокутні. OK = OE — радіуси; MO —

спільна сторона.

За ознакою рівності прямокутних трикутників маємо: ∆MOK = ∆MOE.

Звідси маємо: ∠KMO = ∠EMO = 30°.

За аксіомою вимірювання кутів маємо:

∠EMK = ∠KMO + ∠EMO; ∠EMK = 30° + 30° = 60°.

Розглянемо ∆EMK — рівнобедрений (MK = ME).

Якщо ∠EMK = 60°, тому ∆EMK — рівносторонній, отже,

EM = EK = MK = 6 см.

Відповідь: 6 см.