Вправи: 454

454. На бічних сторонах AB і BC рівнобедреного трикутника ABC позначили відповідно точки M i K так, що BM = BK. Відрізки AK і CM перетинаються в точці О. Доведіть, що: 1) трикутник AOC рівнобедрений; 2) пряма BO — серединний перпендикуляр відрізка AC.

Дано: ∆ABC — рівнобедрений. AB = BC. M ∈ AB;

K ∈ BC. BM = BK. AK CM = 0.

1. Довести:∆АОС — рівнобедрений.

Доведення:

За умовою ∆ABC — рівнобедрений. За властивістю кутів при основі рівнобедреного трикутника маємо: ∠BAC = ∠BCA.

За умовою: AB = BC і BM = BK, тоді AM = KC.

Розглянемо ∆AMC і ∆СКА:

1) ∠MAC = ∠KCA; 2) AC — спільна сторона; 3) AM = KC.

За І ознакою рівності трикутників маємо: ∆КАС = ∆MCА.

Звідси ∠KAC = ∠MCA, AK = CM. Тому, ∆AOC — рівнобедрений.

Доведено.

2. Довести: BO — серединний перпендикуляр відрізка AC.

Доведення:

∆AOC — рівнобедрений. AO = ОС; ∠OAP = ∠OPA. OK = ОМ.

Розглянемо ∆MBO і ∆КВО:

1) MO = OK; 2) MB = BK; 3) BO — спільна сторона.

За III ознакою рівності трикутників маємо: ∆BOM = ∆ВОК.

Звідси ∠MBO = ∠KBO.

Тому BO — бісектриса. За властивістю рівнобедреного трикутника маємо: BO — висота, медіана. Отже OB —серединний перпендикуляр.

Доведено.