Вправи: 372

372. У рівнобедреному трикутнику ABC з кутом при вершині В, який дорівнює 36°, провели бісектрису AD. Доведіть, що трикутники ADB і CAD рівнобедрені.

Доведення:

Нехай дано ∆ABC — рівнобедрений (AB = BC),

∠B = 36°, AD — бісектриса. Доведемо, що ∆ABD і ∆DAC — рівнобедрені.

Розглянемо ∆ABC, так як AB = BC, то ∠A = ∠C.

Оскільки ∠A + ∠B + ∠C = 180°, то ∠A + ∠C + 36° = 180°;

∠A + ∠C = 144°; ∠A = ∠C = 144 : 2 = 72°.

∠BAD = ∠DAC = 72° : 2 = 36° (AD — бісектриса).

Розглянемо ∆ABD:

∠B = 36°, ∠BAD = 36°, тому ∆ABD — рівнобедрений з основою AB.

Розглянемо ∆DAC: ∠C = 72°, ∠DAC = 36°.

Оскільки ∠C + ∠DAC + ∠CDA = 180°, то 72° + 36° + ∠CDA = 180°.

∠CDA = 180° – 108°; ∠CDA = 72°.

В ∆DAC: ∠C = 72°, ∠CDA = 72°, тому ∆DAC — рівнобедрений з основою DC.