Вправи: 262

262. Відрізки BD і B₁D₁ — бісектриси трикутників ABC і A₁B₁C₁ відповідно, AB = A₁B₁, BD = B₁D₁, AD = A₁D₁. Доведіть, що ∆ABC =

= ∆A₁B₁C₁.

Дано: ∆ABC і ∆A₁B₁C₁. BD — бісектриса ∆ABC,

B1D1 — бісектриса ∆A₁B₁C₁,

AB = A₁B₁, BD = B₁D₁,

AD = A₁D₁.

Довести: ∆ABC – ∆A₁B₁C₁.

Доведення:

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁D₁. За умовою AB = A₁B₁, BD = B₁D₁, AD = A₁D₁. За III ознакою рівності трикутників маємо ∆ABD = ∆A₁B₁D₁. Звідси ∠ABD = ∠A₁B₁D₁, ∠ADB = ∠A₁D₁B₁, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁ (як рівні елементи рівних фігур).

За умовою BD — бісектриса ∠ABC. ∠ABD = ∠DBC, B₁D₁ — бісектриса

∠A₁B₁C₁, ∠A₁B₁D₁ = ∠D₁В₁C₁.

Тому, якщо ∠ABD = ∠A₁В₁D₁, тоді ∠ABC = ∠A₁B₁C₁.

Розглянемо ∆BDC і ∆B₁D₁C₁.

За умовою BD = B₁D₁, ∠DBC = ∠D₁B₁C₁. Якщо ∠ADB = ∠A₁D₁B₁, тоді ∠BDC = ∠B₁D₁C₁ (суміжні кути рівним кутам). За II ознакою рівності трикутників маємо ∆BDC = ∆B₁D₁C₁. Звідси маємо DC = D₁C₁, AD = A₁D₁. За аксіомою вимірювання відрізків маємо AC = AD + DC i A₁C₁ = A₁D₁ + D₁C₁.

Розглянемо ∆ABC і ∆A₁B₁C₁.

AB = A₁B₁, AC = A₁C₁, ∠BAD = ∠B₁A₁D₁. За І ознакою рівності трикутників маємо ∆ABC = ∆A₁B₁C₁. Доведено.