Вправи: 260

260. Якою цифрою закінчується число:

1) Розглянемо степені числа 9: 9¹ = 9, 9² = 81, 9³ = 729, ... Як бачимо, останні цифри степенів утворюють групу з 2–х цифр, що циклічно повторюються: 9, 1, 9, 1.

Визначимо, скільки повних циклів по 2 цифри вміщається у 209:

209 : 2 = 104 (ост. 1).

Отже, обчислюючи 209²⁰⁹, ми отримаємо 104 повних цикли і один неповний: 209–й степінь дає першу цифру із циклу — цифру 9.

2) Розглянемо степені числа 3: 3¹ = 3, 3² = 9, 3³ = 27, З⁴ = 81,

З⁵ = 243, З⁶ = 729, ... Як бачимо, останні цифри степенів утворюють групу з 4–х цифр, що циклічно повторюються: 3, 9, 7, 1.

Визначимо, скільки повних циклів по 4 цифри вміщається у 8:

8 : 4 = 2.

Отже, обчислюючи 2023²⁰¹⁵, ми отримаємо 2 повних цикли: 8–й степінь дає останню цифру із циклу — цифру 1.

3) Розглянемо степені числа 7: 7¹ = 7, 7² = 9, 7³ = 343, 7⁴ = 2401,

7⁵ = 16807, 7⁶ = 117649, ... Як бачимо, останні цифри степенів утворюють групу з 4–х цифр, що циклічно повторюються: 7, 9, 3, 1.

Визначимо, скільки повних циклів по 4 цифри вміщається у 82:

82 : 4 = 20 (ост.2).

Отже, обчислюючи 27⁸², ми отримаємо 20 повних циклів і два неповних: 82–й степінь дає другу цифру із циклу — цифру 9.

4) Розглянемо степені числа 4: 4¹ = 4, 4² = 16, 4³ = 64, 4⁴ = 256,

... Як бачимо, останні цифри степенів утворюють групу з 2–х цифр, що циклічно повторюються: 4, 6.

Визначимо, скільки повних циклів по 2 цифри вміщається у 55:

55 : 2 = 27 (ост.1).

Отже, обчислюючи 44⁵⁵, ми отримаємо 27 повних циклів і два неповних: 55–й степінь дає першу цифру із циклу — цифру 4.