Вправи: 689

689. Відомо, що натуральні числа m і n такі, що значення виразу

10m + n ділиться націло на 11. Доведіть, що значення виразу

(10m + n) (10n + m) ділиться націло на 121.

У виразі (10m + n)(10n + m) перший множник ділиться націло на 11, тому, щоб значення виразу ділилося націло на 121 досить, щоб другий множник ділився націло на 11. Маємо: 10n + m = 10n + 100m – 99m = 100m + 10n – 99m = 10(10m + n) – 99m — ділиться націло на 11. Отже, значення виразу (10m + n)(10n + m) ділиться

націло на 121.